81 lines
2.6 KiB
Markdown
81 lines
2.6 KiB
Markdown
|
---
|
|||
|
title: Chain Rule Introduction
|
|||
|
localeTitle: 连锁规则介绍
|
|||
|
---
|
|||
|
# 连锁规则介绍
|
|||
|
|
|||
|
链规则用于计算函数组合的导数。
|
|||
|
|
|||
|
设_F_是实值函数,它是两个函数_f_和_g_的复合,即`F(x) = f(g(x))` ,f(x)和g(x)都是可微分的。 令导数D {F(x)}表示为F'(x)。
|
|||
|
|
|||
|
按链规则,
|
|||
|
|
|||
|
#### _`F'(x) = f'(g(x)).g'(x)`_
|
|||
|
|
|||
|
假设,g(x)= t则F(x)= f(g(x))可以重写为F(x)= f(t) 然后在莱布尼兹的符号链规则可以改写为:
|
|||
|
|
|||
|
#### `d(F)/dx = df/dt . dt/dx`
|
|||
|
|
|||
|
### 示例1.计算sin的衍生物(ax + b)
|
|||
|
|
|||
|
解决方案:该功能可以视为两个功能的组合。 F(x)= f(g(x))
|
|||
|
|
|||
|
t = g(x)= ax + b和f(t)= sin(t)
|
|||
|
|
|||
|
f(t)= sin(t)=> df / dt = cos(t)
|
|||
|
|
|||
|
t = g(x)= ax + b => dt / dx = a
|
|||
|
|
|||
|
现在按链规则:
|
|||
|
|
|||
|
d(F)/ dx = df / dt。 DT / DX
|
|||
|
|
|||
|
\=> d(F)/ dx = a。 cost(t)= a.cos(ax + b)
|
|||
|
|
|||
|
要么
|
|||
|
|
|||
|
我们可以直接应用公式F'(x)= f'(g(x))。g'(x)= cos(ax + b)。一个
|
|||
|
|
|||
|
## 对于两个以上函数的函数组合:
|
|||
|
|
|||
|
设_F_是一个实值函数,它是四个函数的复合_rstu,_即`F(x)=r(s(t(u(x))))`和所有函数_r(x)s(x)t(x)你(x)_是可区分的。 令导数D {F(x)}表示为F'(x)。
|
|||
|
|
|||
|
按链规则,
|
|||
|
|
|||
|
#### _`F'(x) = r'(s(t(u(x)))).s'(t(u(x))).t'(u(x)).u'(x)`_
|
|||
|
|
|||
|
假设,a = u(x),b = t(a),c = s(b)则F(x)= r(s(t(u(x))))可以重写为F(x )= R(c)中
|
|||
|
|
|||
|
然后,F(x)= r(c)=> d(F)/ dx = dr / dc。 dc / dx \_\_\_(eqn 1)
|
|||
|
|
|||
|
c = s(b)=> dc / dx = ds / db。 db / dx \_\_\_(eqn 2)
|
|||
|
|
|||
|
b = t(a)=> db / dx = dt / da。 da / dx \_\_\_(eqn 3)
|
|||
|
|
|||
|
a = u(x)=> da / dx = du / dx \_\_\_(eqn 4)
|
|||
|
|
|||
|
将eqn 2 3 4的值放入方程1中,我们将得到:
|
|||
|
|
|||
|
#### `d(F)/dx = dr/dc . ds/db . dt/da . du/dx`
|
|||
|
|
|||
|
### 例2.计算sin的导数(cos((mx + n)^ 3))
|
|||
|
|
|||
|
解决方案:该功能可视化为四个功能的组合。 F(x)= r(s(t(u(x))))
|
|||
|
|
|||
|
其中a = u(x)= mx + n
|
|||
|
|
|||
|
b = t(a)= a ^ 3
|
|||
|
|
|||
|
c = s(b)= cos(b)则F(x)= r(s(t(u(x))))可以重写为F(x)= r(c)= sin(c)
|
|||
|
|
|||
|
现在,按链规则: d(F)/ dx = dr / dc。 ds / db。 dt / da。 DU / DX
|
|||
|
|
|||
|
\=> d(F)/ dx = cos(c)。 -sin(b)。 3a ^ 2。米
|
|||
|
|
|||
|
\=> d(F)/ dx = cos(cos((mx + n)^ 3))。 -sin((mx + n)^ 3))。 3(mx + n)^ 2。米
|
|||
|
|
|||
|
要么
|
|||
|
|
|||
|
我们可以直接应用这个公式,
|
|||
|
|
|||
|
F'(x)= r'(s(t(u(x))))。s'(t(u(x)))。t'(u(x))。u'(x)= cos( cos((mx + n)^ 3))。 -sin((mx + n)^ 3))。 3(mx + n)^ 2。米
|