117 lines
3.5 KiB
Markdown
117 lines
3.5 KiB
Markdown
|
---
|
|||
|
|
title: Simpson's Rule
|
|||
|
|
localeTitle: 辛普森的规则
|
|||
|
|
---
|
|||
|
|
# 辛普森的规则
|
|||
|
|
|
|||
|
|
在数值分析中，辛普森的规则是数值积分的方法_（定积分的数值逼近）_ 。
|
|||
|
|
|
|||
|
|
辛普森的规则近似于形式的整合，
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
哪里，
|
|||
|
|
|
|||
|
|
* `f(x)`称为_被积函数_
|
|||
|
|
* `a` =整合的下限
|
|||
|
|
* `b` =整合的上限
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## 辛普森的1/3规则
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
如上图所示，被积函数`f(x)`由二阶多项式近似;二次插值是`P(x)` 。
|
|||
|
|
|
|||
|
|
接近，
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
将`(ba)/2`替换为`h` ，我们得到，
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
如您所见，上述表达式中有`1/3` 。这就是为什么，它被称为**辛普森的1/3规则** 。
|
|||
|
|
|
|||
|
|
如果某个函数在某些点上具有高度振荡或缺乏导数，则上述规则可能无法产生准确的结果。处理此问题的一种常见方法是将间隔`[a,b]`分解为许多小的子间隔。然后将辛普森的规则应用于每个子区间，将结果相加以产生整个区间内积分的近似值。这种方法被称为_复合辛普森的规则_ 。
|
|||
|
|
|
|||
|
|
假设区间`[a,b]`被分成`n`个子区间， `n`是偶数。然后，复合Simpson的规则给出，
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
其中**x j = a + jh** ， **j = 0,1，...，n-1，n，**其中**h =（ba）/ n** ;特别地， **x 0 = a**且**x n = b** 。
|
|||
|
|
|
|||
|
|
#### 例：
|
|||
|
|
|
|||
|
|
**取下面给出的积分值，取n = 8。**
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
在C ++中实现Simpson的1/3规则如下：
|
|||
|
|
|
|||
|
|
```cpp
|
|||
|
|
#include<iostream>
|
|||
|
|
#include<cmath>
|
|||
|
|
using namespace std;
|
|||
|
|
|
|||
|
|
float f(float x)
|
|||
|
|
{
|
|||
|
|
return x*sin(x); //Define the function f(x)
|
|||
|
|
}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
float simpson(float a, float b, int n)
|
|||
|
|
{
|
|||
|
|
float h, x[n+1], sum = 0;
|
|||
|
|
int j;
|
|||
|
|
h = (ba)/n;
|
|||
|
|
|
|||
|
|
x[0] = a;
|
|||
|
|
|
|||
|
|
for(j=1; j<=n; j++)
|
|||
|
|
{
|
|||
|
|
x[j] = a + h*j;
|
|||
|
|
}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
for(j=1; j<=n/2; j++)
|
|||
|
|
{
|
|||
|
|
sum += f(x[2*j - 2]) + 4*f(x[2*j - 1]) + f(x[2*j]);
|
|||
|
|
}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
return sum*h/3;
|
|||
|
|
}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
int main()
|
|||
|
|
{
|
|||
|
|
float a,b,n;
|
|||
|
|
a = 1; //Enter lower limit a
|
|||
|
|
b = 4; //Enter upper limit b
|
|||
|
|
n = 8; //Enter step-length n
|
|||
|
|
if (n%2 == 0)
|
|||
|
|
cout<<simpson(a,b,n)<<endl;
|
|||
|
|
else
|
|||
|
|
cout<<"n should be an even number";
|
|||
|
|
return 0;
|
|||
|
|
}
|
|||
|
|
```
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## 辛普森的3/8规则
|
|||
|
|
|
|||
|
|
辛普森的3/8规则类似于辛普森的1/3规则。唯一的区别在于，这里，插值是一个三次多项式。 3/8规则大约是1/3规则的两倍，但它使用了一个以上的函数值。
|
|||
|
|
|
|||
|
|
辛普森的3/8规则规定：
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
将`(ba)/3`替换为`h` ，我们得到，
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
对于n个区间，Simpson的3/8规则（n应该是3的倍数）：
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
其中**x j = a + jh** ， **j = 0,1，...，n-1，n，**其中**h =（ba）/ n** ;特别地， **x 0 = a**且**x n = b** 。
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### 更多信息：
|
|||
|
|
|
|||
|
|
1. [辛普森的规则](https://en.wikipedia.org/wiki/Simpson%27s_rule)
|
|||
|
|
2. [辛普森的1/3规则](w3.gazi.edu.tr/~balbasi/mws_gen_int_txt_simpson13.pdf)
|