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id: 5900f52e1000cf542c510041
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2022-01-22 15:08:20 +00:00
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title: '問題 450: 内サイクロイドと格子点'
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2022-01-20 19:30:18 +00:00
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challengeType: 5
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forumTopicId: 302123
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dashedName: problem-450-hypocycloid-and-lattice-points
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# --description--
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2022-01-22 15:08:20 +00:00
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内サイクロイドとは、大きな円の内部で回転する小さな円上の点によって描かれる曲線のことです。 原点を中心とし、右端の点から始まる内サイクロイドのパラメトリック方程式を次に示します。
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2022-01-20 19:30:18 +00:00
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$$x(t) = (R - r) \cos(t) + r \cos(\frac{R - r}{r}t)$$
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$$y(t) = (R - r) \sin(t) - r \sin(\frac{R - r}{r} t)$$
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2022-01-22 15:08:20 +00:00
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ここで、$R$ は大きな円の半径、$r$ は小さな円の半径です。
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半径 $R$ と $r$ を持つ内サイクロイド上の整数座標の点であり、$\sin(t)$ と $\cos(t)$ が有理数となる $t$ の相当値が存在するような、相異なる点の集合を $C(R, r)$ とします。
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2022-01-20 19:30:18 +00:00
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$C(R, r)$ に含まれる点の $x$ 座標と $y$ 座標の絶対値の総和を $S(R, r) = \sum\_{(x,y) \in C(R, r)} |x| + |y|$ とします。
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2022-01-20 19:30:18 +00:00
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正の整数 $R$ と $r$ について、$R\leq N$ かつ $2r < R$のとき、$S(R, r)$ の和を $T(N) = \sum_{R = 3}^N \sum_{r=1}^{\left\lfloor \frac{R - 1}{2} \right\rfloor} S(R, r)$ とします。
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2022-01-20 19:30:18 +00:00
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次が与えられます。
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$$\begin{align} C(3, 1) = & \\{(3, 0), (-1, 2), (-1,0), (-1,-2)\\} \\\\ C(2500, 1000) = & \\{(2500, 0), (772, 2376), (772, -2376), (516, 1792), (516, -1792), (500, 0), (68, 504), \\\\ &(68, -504),(-1356, 1088), (-1356, -1088), (-1500, 1000), (-1500, -1000)\\} \end{align}$$
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** 注:** (-625, 0) は $C(2500, 1000)$ の要素ではありません。なぜなら、$t$ の相当値で $\sin(t)$ が有理数とならないからです。
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2022-01-20 19:30:18 +00:00
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$S(3, 1) = (|3| + |0|) + (|-1| + |2|) + (|-1| + |0|) + (|-1| + |-2|) = 10$
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$T(3) = 10$; $T(10) = 524$; $T(100) = 580\\,442$; $T({10}^3) = 583\\,108\\,600$
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2022-01-20 19:30:18 +00:00
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$T({10}^6)$ を求めなさい。
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# --hints--
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`hypocycloidAndLatticePoints()` は `583333163984220900` を返す必要があります。
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2022-01-20 19:30:18 +00:00
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```js
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assert.strictEqual(hypocycloidAndLatticePoints(), 583333163984220900);
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# --seed--
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## --seed-contents--
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```js
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function hypocycloidAndLatticePoints() {
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return true;
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}
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hypocycloidAndLatticePoints();
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# --solutions--
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```js
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// solution required
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