62 lines
4.5 KiB
Markdown
62 lines
4.5 KiB
Markdown
|
---
|
|||
|
|
title: Binomial Distribution
|
|||
|
|
localeTitle: Биномиальное распределение
|
|||
|
|
---
|
|||
|
|
## Биномиальное распределение
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Биномиальное распределение описывает вероятность наличия ровно `k` успехов в `n` независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха `p` .
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Есть четыре условия, которые должны быть выполнены, прежде чем мы сможем использовать распределение биномалей.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
1. Испытания независимы.
|
|||
|
|
2. Число испытаний, `n` , фиксировано.
|
|||
|
|
3. Каждый результат испытания можно отнести к успеху или неудаче.
|
|||
|
|
4. Вероятность успеха, `p` , одинакова для каждого испытания.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### пример
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим эксперимент по бросанию справедливой монеты в 10 раз. Пусть результат «Головок» - это успех и результат «Хвост».
|
|||
|
|
|
|||
|
|
1. Бросание монеты - это одно испытание эксперимента, и каждый раз, когда мы бросаем монету, полученный результат не зависит от результата любого другого испытания.
|
|||
|
|
2. Мы бросаем монету 10 раз (фиксированное значение `n` ).
|
|||
|
|
3. Мы решили считать «Главы» успешными, а «Хвосты» - неудачей.
|
|||
|
|
4. Вероятность получения голов с честной монетой равна 0,5, и это одинаково в каждом испытании.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Все четыре условия выполнены, поэтому мы можем моделировать этот эксперимент, используя биномиальное распределение.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Найдем вероятность получить Heads точно один раз, т.е. 1 успех.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Есть 10 бросков, и любой мог бы привести к исходу Heads, и каждый из этих 10 сценариев имеет ту же вероятность. Таким образом, конечная вероятность может быть записана как: `[# Number of Scenarios] x P(single scenario)`
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Первой составляющей приведенного выше уравнения является число способов расположения `k = 1` успехов среди `n = 10` испытаний. Второй компонент - вероятность любого из четырех (одинаково вероятных) сценариев.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим `P(Single Scenario)` в общем случае `k` успехов и `n - k` отказов в `n` испытаниях. Чтобы найти значение, используйте правило умножения для независимых событий:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Количество способов получить `k` успехов из `n` проб может быть записано как **n выбрать k** :
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Таким образом, общая формула для получения вероятности наблюдения точно `k` успехов в `n` независимых испытаниях дает:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Следовательно, вероятность получения ровно одной главы в испытаниях:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Среднее и разное
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Среднее биномиальное распределение с `n` исследованиями, где `p` - вероятность успеха, определяется:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
и дисперсия:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
#### Дополнительная информация:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
* [OpenIntro Statistics 3rd Edition (Глава 3 - стр. 145)](https://www.openintro.org/stat/textbook.php?stat_book=os)
|
|||
|
|
* [Получение среднего значения и разности биномиального распределения](https://www.youtube.com/watch?v=8fqkQRjcR1M)
|