47 lines
3.0 KiB
Markdown
47 lines
3.0 KiB
Markdown
|
---
|
|||
|
|
title: Factorials
|
|||
|
|
localeTitle: Факториалы
|
|||
|
|
---
|
|||
|
|
## Факториалы
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Определение факториала
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Факториал состоит в том, чтобы умножить его на каждый интигер ниже, чем заканчивается на один. Если начальное число отрицательно, результат будет бесконечным.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Факториал n , неотрицательное целое число, определяется как:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
п! = 1 \* 2 \* ... \* (n - 1) \* n
|
|||
|
|
|
|||
|
|
При n = 0 возникает особый случай. А именно, 0! = 1 .
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Удобство факториалов
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Вышеприведенное определение предоставляет вам удобство при определенных вычислениях. Например, факториалы внутри фракций часто могут быть упрощены следующим образом:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Пример 1: 7! / 5! = (1 \* 2 \* 3 \* 4 \* 5 \* 6 \* 7) / (1 \* 2 \* 3 \* 4 \* 5) = 6 \* 7 = 42
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Пример 2: (n + 1)! / n! = (1 \* 2 \* ... \* n \* (n + 1)) / (1 \* 2 \* ... \* n) = n + 1
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Альтернативное определение
|
|||
|
|
|
|||
|
|
В качестве альтернативы факториалы можно определить следующим образом:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
0! = 1
|
|||
|
|
|
|||
|
|
п! = n \* (n - 1)! если n> 0
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Это рекурсивное определение означает то же самое, что и традиционное определение. Применяя это ко второму примеру выше, получаем:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
(n + 1)! / n! = (n + 1) \* n! / n! = n + 1
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Помимо этого: расширение до нецелочисленных
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Обратите внимание, что факториал, определенный выше, применяется только к целым неотрицательным целям. На самом деле существует обобщение факториалов, которое также распространяется на нецелые числа, что является гамма-функцией. В частности, для любого натурального числа n вы имеете n! = Gamma (n + 1) = n \* Gamma (n) .
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Дополнительные сведения см. В разделе [Расширение факториалов до нецелых значений аргумента](https://en.wikipedia.org/wiki/Factorial#Extension_of_factorial_to_non-integer_values_of_argument) .
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Один сложный пример, который многие могут не знать, если 0! = 1. Для дальнейшего доказательства см. Ссылку в разделе «Дополнительная информация».
|
|||
|
|
|
|||
|
|
#### Дополнительная информация:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
[Факториалы](http://www.purplemath.com/modules/factorial.htm)
|