61 lines
5.3 KiB
Markdown
61 lines
5.3 KiB
Markdown
|
---
|
|||
|
|
title: Euler method
|
|||
|
|
id: 59880443fb36441083c6c20e
|
|||
|
|
challengeType: 5
|
|||
|
|
videoUrl: ''
|
|||
|
|
localeTitle: Метод Эйлера
|
|||
|
|
---
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Description
|
|||
|
|
<section id="description"><p> Метод Эйлера численно аппроксимирует решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (ОДУ) с заданным начальным значением. Это явный метод решения начальных задач (IVP), как описано <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Euler method" title="wp: метод Эйлера">на странице wikipedia</a> . </p><p> ОДУ должно быть представлено в следующем виде: </p><p> :: <big>$ \ frac {dy (t)} {dt} = f (t, y (t)) $</big> </p><p> с начальным значением </p><p> :: <big>$ y (t_0) = y_0 $</big> </p><p> Чтобы получить числовое решение, мы заменим производную на LHS с помощью разностной аппроксимации: </p><p> :: <big>$ \ frac {dy (t)} {dt} \ approx \ frac {y (t + h) -y (t)} {h} $</big> </p><p> затем решить для $ y (t + h) $: </p><p> :: <big>$ y (t + h) \ approx y (t) + h \, \ frac {dy (t)} {dt} $</big> </p><p> который является таким же, как </p><p> :: <big>$ y (t + h) \ approx y (t) + h \, f (t, y (t)) $</big> </p><p> Итеративное правило решения: </p><p> :: <big>$ y_ {n + 1} = y_n + h \, f (t_n, y_n) $</big> </p><p> где <big>$ h $</big> - размер шага, наиболее важный параметр для точности решения. Чем меньше размер шага, тем выше точность, но также и стоимость вычислений, поэтому его всегда нужно выбирать вручную в зависимости от проблемы. </p><p> Пример: закон охлаждения Ньютона </p><p> Закон охлаждения Ньютона описывает, как объект начальной температуры <big>$ T (t_0) = T_0 $</big> остывает в среде с температурой <big>$ T_R $</big> : </p><p> :: <big>$ \ frac {dT (t)} {dt} = -k \, \ Delta T $</big> </p><p> или </p><p> :: <big>$ \ frac {dT (t)} {dt} = -k \, (T (t) - T_R) $</big> </p><p> В нем говорится, что скорость охлаждения <big>$ \ frac {dT (t)} {dt} $</big> объекта пропорциональна текущей разности температур <big>$ \ Delta T = (T (t) - T_R) $</big> в окружающую среду. </p><p> Аналитическое решение, которое мы будем сравнивать с численным приближением, </p><p> :: <big>$ T (t) = T_R + (T_0 - T_R) \; е ^ {-} $ кт</big> </p> Задача: <p> Внедрить рутину метода Эйлера, а затем использовать его для решения данного примера закона охлаждения Ньютона с ним для трех разных размеров шага: </p><p> :: * 2 с </p><p> :: * 5 с и </p><p> :: * 10 с </p><p> и сравнить с аналитическим решением. </p> Начальные значения: <p> :: * начальная температура <big>$ T_0 $</big> должна быть 100 ° C </p><p> :: * комнатная температура <big>$ T_R $</big> должна составлять 20 ° C </p><p> :: * постоянная охлаждения <big>$ k $</big> должна составлять 0,07 </p><p> :: * интервал времени для вычисления должен составлять от 0 с ──► 100 с </p></section>
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Instructions
|
|||
|
|
<section id="instructions">
|
|||
|
|
</section>
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Tests
|
|||
|
|
<section id='tests'>
|
|||
|
|
|
|||
|
|
```yml
|
|||
|
|
tests:
|
|||
|
|
- text: <code>eulersMethod</code> - это функция.
|
|||
|
|
testString: 'assert(typeof eulersMethod === "function", "<code>eulersMethod</code> is a function.");'
|
|||
|
|
- text: '<code>eulersMethod(0, 100, 100, 10)</code> должен возвращать число.'
|
|||
|
|
testString: 'assert(typeof eulersMethod(0, 100, 100, 10) === "number", "<code>eulersMethod(0, 100, 100, 10)</code> should return a number.");'
|
|||
|
|
- text: '<code>eulersMethod(0, 100, 100, 10)</code> должен возвращать 20.0424631833732.'
|
|||
|
|
testString: 'assert.equal(eulersMethod(0, 100, 100, 2), 20.0424631833732, "<code>eulersMethod(0, 100, 100, 10)</code> should return 20.0424631833732.");'
|
|||
|
|
- text: '<code>eulersMethod(0, 100, 100, 10)</code> должен возвращать 20.01449963666907.'
|
|||
|
|
testString: 'assert.equal(eulersMethod(0, 100, 100, 5), 20.01449963666907, "<code>eulersMethod(0, 100, 100, 10)</code> should return 20.01449963666907.");'
|
|||
|
|
- text: '<code>eulersMethod(0, 100, 100, 10)</code> должен возвращать 20.000472392.'
|
|||
|
|
testString: 'assert.equal(eulersMethod(0, 100, 100, 10), 20.000472392, "<code>eulersMethod(0, 100, 100, 10)</code> should return 20.000472392.");'
|
|||
|
|
|
|||
|
|
```
|
|||
|
|
|
|||
|
|
</section>
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Challenge Seed
|
|||
|
|
<section id='challengeSeed'>
|
|||
|
|
|
|||
|
|
<div id='js-seed'>
|
|||
|
|
|
|||
|
|
```js
|
|||
|
|
function eulersMethod (x1, y1, x2, h) {
|
|||
|
|
// Good luck!
|
|||
|
|
}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
```
|
|||
|
|
|
|||
|
|
</div>
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
</section>
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Solution
|
|||
|
|
<section id='solution'>
|
|||
|
|
|
|||
|
|
```js
|
|||
|
|
// solution required
|
|||
|
|
```
|
|||
|
|
</section>
|