81 lines
3.5 KiB
Markdown
81 lines
3.5 KiB
Markdown
|
---
|
|||
|
|
title: Chain Rule Introduction
|
|||
|
|
localeTitle: Введение в правила цепи
|
|||
|
|
---
|
|||
|
|
# Введение в правила цепи
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Правило цепочки используется для вычисления производной от состава функций.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Пусть _F_ - вещественная функция, являющаяся композицией двух функций _f_ и _g,_ то есть `F(x) = f(g(x))` и обе f (x) и g (x) дифференцируемы. Пусть производная D {F (x)} обозначается как F '(x).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
По правилам цепи,
|
|||
|
|
|
|||
|
|
#### _`F'(x) = f'(g(x)).g'(x)`_
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Предположим, что g (x) = t, то F (x) = f (g (x)) можно переписать в виде F (x) = f (t) то в обозначении Лейбница Цепочное правило может быть переписано как:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
#### `d(F)/dx = df/dt . dt/dx`
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Пример 1. Для вычисления производной от sin (ax + b)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Решение. Функция может быть визуализирована как совокупность двух функций. F (x) = f (g (x))
|
|||
|
|
|
|||
|
|
t = g (x) = ax + b и f (t) = sin (t)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
f (t) = sin (t) => df / dt = cos (t)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
t = g (x) = ax + b => dt / dx = a
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теперь по Chain Rule:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
d (F) / dx = df / dt. дт / дх
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\=> d (F) / dx = a. cost (t) = a.cos (ax + b)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
ИЛИ
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Мы можем непосредственно применить формулу F '(x) = f' (g (x)). G '(x) = cos (ax + b).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Для функции, состоящей из более чем двух функций:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Пусть _F_ - вещественнозначная функция, представляющая собой композицию из четырех функций _rstu,_ т. _Е._ `F(x)=r(s(t(u(x))))` и всех функций _r (x) s (x) t (x) u (x)_ дифференцируемы. Пусть производная D {F (x)} обозначается как F '(x).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
По правилам цепи,
|
|||
|
|
|
|||
|
|
#### _`F'(x) = r'(s(t(u(x)))).s'(t(u(x))).t'(u(x)).u'(x)`_
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Предположим, что a = u (x), b = t (a), c = s (b), то F (x) = r (s (t (u (x)))) можно переписать в виде F (x ) = г (с)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
то F (x) = r (c) => d (F) / dx = dr / dc. dc / dx \_\_\_ (уравнение 1)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
c = s (b) => dc / dx = ds / db. db / dx \_\_\_ (уравнение 2)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
b = t (a) => db / dx = dt / da. da / dx \_\_\_ (3)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
a = u (x) => da / dx = du / dx \_\_\_ (уравнение 4)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Полагая в уравнении (1) значение eqn 2 3 4, получим:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
#### `d(F)/dx = dr/dc . ds/db . dt/da . du/dx`
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Пример 2. Вычислить производную от sin (cos ((mx + n) ^ 3))
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Решение. Функция может быть визуализирована как составная из четырех функций. F (x) = r (s (t (u (x))))
|
|||
|
|
|
|||
|
|
где a = u (x) = mx + n
|
|||
|
|
|
|||
|
|
b = t (a) = a ^ 3
|
|||
|
|
|
|||
|
|
c = s (b) = cos (b), то F (x) = r (s (t (u (x)))) можно переписать в виде F (x) = r (c) = sin (c)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теперь, по правилам цепи: d (F) / dx = dr / dc. ds / db. dt / da. ди / дх
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\=> d (F) / dx = cos (c). -sin (b). 3a ^ 2. м
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\=> d (F) / dx = cos (cos ((mx + n) ^ 3)). -sin ((mx + n) ^ 3)). 3 (mx + n) ^ 2. м
|
|||
|
|
|
|||
|
|
ИЛИ
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Мы можем непосредственно применить формулу,
|
|||
|
|
|
|||
|
|
F '(x) = r' (s (t (u (x)))) s '(t (u (x))) t' (u (x)), u '(x) = cos ( cos ((mx + n) ^ 3)). -sin ((mx + n) ^ 3)). 3 (mx + n) ^ 2. м
|