freeCodeCamp/guide/arabic/mathematics/derivatives/index.md

---
title: Derivatives
localeTitle: المشتقات
---
## المشتقات

المشتق هو المعدل الفوري لتغيير وظيفة ، أو معدل تغيير وظيفة في أي لحظة معينة في الوقت المناسب. مشتق هو أداة حساب التفاضل والتكامل ويمكنك تحديد ذلك من خلال اتخاذ حد.

يمكنك فهم مفهوم المشتق بمقارنته بمفهوم المنحدر (متوسط ​​معدل التغيير) في الجبر.

دعونا نلقي نظرة على مثال:

قررت أن تقود سيارتك من سان فرانسيسكو إلى سانتا روزا ، كاليفورنيا - على مسافة 60 ميلاً تقريبًا. أنت تجعل محرك الأقراص في ساعة واحدة. وبالتالي ، فإن معدل التغيير (السرعة) هو 60 ميل في الساعة.

لكنك لم تسافر بمعدل 60 ميل في الساعة لكل لحظة من رحلتك. بدأت بشكل أبطأ ، ثم زادت سرعتك وتفاوتت على طول الطريق ، ثم تباطأت إلى نقطة توقف كاملة عند وصولك إلى وجهتك.

دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني لرحلتك ، مع المحور السيني الذي يمثل الوقت (بالدقائق) ومحور y يمثل المسافة (بالأميال). حزب العمال. يمثل A San Francisco ، مع إحداثيات (0 ، 0) و pt. B تمثل سانتا روزا ، مع إحداثيات (60 ، 60). يمثل الخط المنحني موقعك ، في المكان والزمان ، أثناء سفرك من سان فرانسيسكو إلى سانتا روزا.

![صورة](https://github.com/MarkMikow/MyFiles/blob/master/img1.png?raw=true)

يمكنك تحديد متوسط ​​السرعة (معدل التغيير في المسافة لكل مرة) من رحلتك عن طريق أخذ منحدر الجبر ("الارتفاع فوق المدى"):

![صورة](https://github.com/MarkMikow/MyFiles/blob/master/img2.png?raw=true)

باستخدام نفس الرسم البياني ، يمكنك اختيار أي نقطتين ، C (x1، y1) و D (x2، y2) والعثور على الميل بينهما. علاوة على ذلك ، يمكنك تصنيف كل نقطة باستخدام تدوين الدالة ، بحيث تصبح (x1 و y1) (x و f (x)) و (x2 و y2) ((x + h) و f (x + h)) ، مع ح كونها المسافة الأفقية التي pt. D من pt. C:

![صورة](https://github.com/MarkMikow/MyFiles/blob/master/img3.png?raw=true)

المنحدر من pt. ج إلى نقطة. D هو:

![صورة](https://github.com/MarkMikow/MyFiles/blob/master/img4.png?raw=true)

التعبير ![صورة](https://github.com/MarkMikow/MyFiles/blob/master/img5.png?raw=true) يسمى حاصل الفرق ، ويمكنك استخدامه للعثور على معدل معدل التغيير من أي نقطة على الرسم البياني إلى أي نقطة أخرى على مسافة أفقية من وحدات h بعيدا.

لتحويل متوسط ​​معدل التغيير (الميل) إلى معدل فوري للتغير (المشتق ، الموضح في f (x)) ، فإنك تأخذ الحد الأقصى لحاصل الفرق:

![صورة](https://github.com/MarkMikow/MyFiles/blob/master/img6.png?raw=true)

هذا هو التعريف الرسمي للأداة المشتقة ويعني أنك تأخذ المسافة h وتقلصها إلى كمية صغيرة لا متناهية الصغر. لا يزال لديك منحدر ، ولكن نقاطه النهائية قريبة من بعضها البعض. قريبة جدا ، في الواقع ، أنها تظهر كنقطة واحدة ، أو لحظة واحدة ، في الوقت المناسب.

نظرًا لأن مماس خط إلى نقطة على الرسم البياني يتقاطع مع الرسم البياني عند نقطة واحدة فقط ، يتم تعريف المشتق أيضًا بأنه ميل الخط المماس إلى أي نقطة على الرسم البياني. في مثال الرسم البياني أعلاه ، تكون مشتقة كل نقطة هي السرعة الآنية التي تسافر إليها.

للمشتقات مجموعة واسعة من التطبيقات وتستخدم في الفيزياء والهندسة والاقتصاد والتخصصات الأخرى.