32 lines
3.1 KiB
Markdown
32 lines
3.1 KiB
Markdown
|
---
|
|||
|
|
title: Definition of Real Number
|
|||
|
|
localeTitle: 实数的定义
|
|||
|
|
---
|
|||
|
|
## 实数的定义
|
|||
|
|
|
|||
|
|
> 实数可以被认为是无限长线上的点。
|
|||
|
|
|
|||
|
|
实数包括所有有理数，例如___1/2，0，103.644___和_二百七十二分之二百七十一_ ，以及所有的无理数，如_PI，_的2的平方根，和_e_的。注意，不包括“复数”，包括非零虚数量的数字。
|
|||
|
|
|
|||
|
|
因此，任何具有十进制表示的数字，即使该表示是无限的，也是实数， _例如1.234567891 ..._我们注意到负数的平方根没有十进制表示，因此任何负数的平方根都不是真的。恰好， _\-1的_平方根恰好是“ _i_ ”的定义， _即_虚数系统中的单位长度。下面是一个关于如何推导和定义实数的概述，但它肯定不是一个正式的证据。
|
|||
|
|
|
|||
|
|
考虑_1_的概念，单个实体，一个单元。让自然数集**_N_**由规则描述：
|
|||
|
|
|
|||
|
|
* _1_是自然数
|
|||
|
|
* 每个自然数都只有一个后继（一个比自身大的数字）。
|
|||
|
|
* _1_没有继任者。
|
|||
|
|
|
|||
|
|
这些定义了计数的概念，并且除了本文的范围之外还有一些规则，可以在这组新的数字**_N中_**定义诸如加法和闭包之类的规则。该集合与_0_的概念一起创建了整数集。当将“负数”的概念添加到该组“整数”时，形成整数。负数是数字b，使得_a + b = 0_ ，其中_a_在**_N中_** （因此_a_既不是0也不是负本身）。我们将这个联合称为_0_ ， **_N_**和负数**_Z_** ，或_整数_ 。
|
|||
|
|
|
|||
|
|
我们在操作“ _\*_ ”下定义乘法，使得如果_a_和_b_在**_Z中_** ，则_a \* b = c，_如果_c = a + ... + a_ ， _b_次。因此，整数中的乘法实际上只是一个总和。注意，通过该定义，可以进行负数的加法。我们现在使用乘法来定义除法，这将允许我们定义有理数。
|
|||
|
|
|
|||
|
|
我们在操作“ _/_ ”下定义除法，使得如果_a_和_b_在**_Z中_** ，则_c = a / b_当且仅当存在_a = b \* c + r时_ ，其中_r = 0_ ，并且_c_是在**_Z._**但是如果_a = b \* c + r_ ，其中_0 <r <b_怎么办？然后_b_不均匀地划分_a_ ，并且该等式在我们的数字系统**_Z_**内是不可解的。但是，如果这个方程是可解的，并且_c_可以表示为一个_比率_ ，那么_c = a / b_尽管_b_不均匀地划分_a_ ？这暗示了一组称为_有理数_ **_Q的_** _数字_ ，其成员可以表示为_a / b_ ，其中_a_和_b_在**_Z中_** 。我们注意到**_Q_**中所有数字的十进制表示都是有限的或重复的。
|
|||
|
|
|
|||
|
|
但是，有些数字不能被描述为整数比，例如2， _pi_和_e的_平方根。所有非重复的非有限长度十进制数都是不合理的。事实上，这个属性适用于所有合理的数字基础。通过用这些无理数来“填充有理数”之间的间隙，可以构造实数**_R._**
|
|||
|
|
|
|||
|
|
请注意，计算机实际上并不使用实数，而是计算机使用二进制整数，可用于表示“浮点”数字或整数。
|
|||
|
|
|
|||
|
|
#### 更多信息：
|
|||
|
|
|
|||
|
|
* [关于实数的维基百科](https://en.wikipedia.org/wiki/Real_number)
|
|||
|
|
* [浮点数，IEE-754](https://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_754)
|