---
title: Derivative
localeTitle: المشتق
---
## المشتق

**التعريف** : يُعرَّف مشتق الدالة f (x) بالنسبة إلى x ، الممثلة بـ f '(x) على النحو التالي:  
![صيغة الحد لمشتقاتها](http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/DefnOfDerivative_files/eq0006M.gif)  
  

حيث h هو تغير طفيف بشكل لا نهائي في قيمة المدخلات ، ممثلة بوظيفة الحد (يقترب من الصفر إلى الصفر)  

في الصيغة المذكورة أعلاه ، نلاحظ أن المشتق هو مجرد منحدر ظل من رسم بياني × عند أي قيمة إدخال.  

**خاصية مهمة للوظيفة ومشتقاتها:**  
تكون الدالة f (x) قابلة للتفاضل عند x = a ، إذا و ، فقط إذا كانت الوظيفة مستمرة عند f (x = a).  
وعلى العكس من ذلك ، إذا كانت مشتقة دالة موجودة عند النقطة a ، فيجب أن تكون الدالة متواصلة عند f (x = a).

## خصائص المشتقات

1.  **الخطي**  
    لنفترض أن f (x) و g (x) هما دالتان مختلفتان ، وأن a و b هما أرقاما حقيقية. ثم الوظيفة  
    ![Funtion المدخلات](http://www.hyper-ad.com/tutoring/math/calculus/images/prop_deriv589.gif)  
    هو الاختلاف  
    ![مشتق الإخراج](http://www.hyper-ad.com/tutoring/math/calculus/images/prop_deriv590.gif)  
    
2.  **سيادة المنتج**  
    بالنسبة لوظيفة معينة h (x) = f (x) \* g (x) ، يمكننا تطبيق قاعدة المنتج للبحث عن مشتق الدالة h (x) مثل  
    ![سيادة المنتج](http://www.hyper-ad.com/tutoring/math/calculus/images/prop_deriv599.gif)  
    يرجى الاطلاع على الرابط في مزيد من المعلومات (خصائص مشتق) لإثبات هذه الخاصية  
    
3.  **قاعدة الحسم**  
    تعطي قاعدة الحاصل المشتق لوظيفة واحدة مقسومة على أخرى. دع h (x) = f (x) / g (x) (حيث g (x) لا يمكن أن يكون صفراً) ثم يمكن العثور على مشتق h (x) باستخدام ما يلي:  
    ![قاعدة الحسم](http://www.hyper-ad.com/tutoring/math/calculus/images/prop_deriv605.gif)  
    يرجى الاطلاع على الرابط في مزيد من المعلومات (خصائص مشتق) لإثبات هذه الخاصية  
    
4.  **قاعدة سلسلة**  
    تُستخدم قاعدة السلسلة في حالة دالة دالة ، تُعرف أيضًا باسم دالة مركبة أو كتكوين للوظائف. تمثيل وظيفة التمثيل المركب:  
    ![الوظيفة المركبة](http://www.hyper-ad.com/tutoring/math/calculus/images/prop_deriv609.gif)  
    ثم يمكن العثور على مشتق الإخراج باستخدام القاعدة التالية:  
    ![قاعدة سلسلة](http://www.hyper-ad.com/tutoring/math/calculus/images/prop_deriv616.gif)  
    يرجى الاطلاع على الرابط في مزيد من المعلومات (خصائص مشتق) لإثبات هذه الخاصية  
    

#### معلومات اكثر:

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/DerivativeIntro.aspx http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/DefnOfDerivative.aspx خصائص المشتقات (بما في ذلك البراهين): http://www.hyper-ad.com/tutoring/math/calculus/Properties _of_ Derivatives.html

**ملاحظة** : الصور مأخوذة من http://www.hyper-ad.com/ و http://tutorial.math.lamar.edu/