---
title: Derivative
localeTitle: производный
---
## производный

**Определение** : Производная функции f (x) по x, представленная f '(x), определяется как:  
![Предельная формула для производной](http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/DefnOfDerivative_files/eq0006M.gif)  
  

где h - бесконечно малое изменение значения входа, представленное предельной функцией (h приближается к нулю)  

В приведенной выше формуле заметим, что производная представляет собой только наклон касательной к графу x при любом входном значении.  

**Важное свойство функции и ее производная:**  
Функция f (x) дифференцируема при x = a, тогда и только тогда, когда функция f непрерывна в f (x = a).  
Обратно, если производная функции существует в точке а, то функция должна быть непрерывной при / (х = а).

## Свойства производных

1.  **линейность**  
    Пусть f (x) и g (x) - дифференцируемые функции, a и b - вещественные числа. Тогда функция  
    ![Входное функционирование](http://www.hyper-ad.com/tutoring/math/calculus/images/prop_deriv589.gif)  
    дифференцируема как  
    ![Выходной производный](http://www.hyper-ad.com/tutoring/math/calculus/images/prop_deriv590.gif)  
    
2.  **Правило продукта**  
    Для данной функции h (x) = f (x) \* g (x) мы можем применить правило произведения, чтобы найти производную функции h (x) как  
    ![Правило продукта](http://www.hyper-ad.com/tutoring/math/calculus/images/prop_deriv599.gif)  
    См. Ссылку в More information (Свойства производного) для подтверждения этого свойства  
    
3.  **Правило**  
    Правило частного дает производную от одной функции, деленной на другую. Пусть h (x) = f (x) / g (x) (где g (x) не может быть нулем), то производную от h (x) можно найти, используя следующее:  
    ![Правило](http://www.hyper-ad.com/tutoring/math/calculus/images/prop_deriv605.gif)  
    См. Ссылку в More information (Свойства производного) для подтверждения этого свойства  
    
4.  **Правило цепи**  
    Правило цепи используется в случае функции функции, также известной как составная функция или как состав функций. Представление входных композитных функций:  
    ![Композитная функция](http://www.hyper-ad.com/tutoring/math/calculus/images/prop_deriv609.gif)  
    Тогда выходную производную можно найти, используя следующее правило:  
    ![Правило цепи](http://www.hyper-ad.com/tutoring/math/calculus/images/prop_deriv616.gif)  
    См. Ссылку в More information (Свойства производного) для подтверждения этого свойства  
    

#### Дополнительная информация:

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/DerivativeIntro.aspx http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/DefnOfDerivative.aspx Собственные производные (включая доказательства): http://www.hyper-ad.com/tutoring/math/calculus/Properties _of_ Derivatives.html

**Примечание** . Изображения, сделанные с http://www.hyper-ad.com/ и http://tutorial.math.lamar.edu/