---
id: 5900f52e1000cf542c510041
title: 问题450：Hypocycloid和Lattice点
challengeType: 5
videoUrl: ''
---

# --description--

内摆线是由在较大圆内滚动的小圆上的点绘制的曲线。以原点为中心，从最右边开始的内摆线的参数方程由下式给出：$ x（t）=（R - r）\\ cos（t）+ r \\ cos（\\ frac {R - r} rt）$ $ y（t）=（R - r）\\ sin（t） - r \\ sin（\\ frac {R - r} rt）$其中R是大圆的半径，r是小圆的半径圈。

设$ C（R，r）$是具有半径为R和r的内摆线上的整数坐标的不同点的集合，并且对应的值为t，使得$ \\ sin（t）$和$ \\ cos（ t）$是有理数。

设$ S（R，r）= \\ sum \_ {（x，y）\\ in C（R，r）} | x | + | y | $是$ C（R，r）$中点的x和y坐标的绝对值之和。

设$ T（N）= \\ sum *{R = 3} ^ N \\ sum* {r = 1} ^ {\\ lfloor \\ frac {R - 1} 2 \\ rfloor} S（R，r）$是$的总和S（R，r）$表示R和r正整数，$ R \\ leq N $和$ 2r <R $。

给出：C（3,1）= {（3,0），（-1,2），（ - 1,0），（ - 1，-2）} C（2500,1000）= {（2500 ，0），（772,2376），（772，-2376），（516,1792），（516，-1792），（500,0），（68,504），（68，-504），（ -1356,1088），（ - 1356，-1088），（ - 1500,1000），（ - 1500，-1000）}

注意：（ - 625,0）不是C（2500,1000）的元素，因为$ \\ sin（t）$不是t的相应值的有理数。

S（3,1）=（| 3 | + | 0 |）+（| -1 | + | 2 |）+（| -1 | + | 0 |）+（| -1 | + | -2 |） = 10

T（3）= 10; T（10）= 524; T（100）= 580442; T（103）= 583108600。

求T（106）。

# --hints--

`euler450()`应该返回583333163984220900。

```js
assert.strictEqual(euler450(), 583333163984220900);
```

# --solutions--