---
id: 5900f5381000cf542c51004b
title: 'Problema 460: Uma formiga em movimento'
challengeType: 5
forumTopicId: 302135
dashedName: problem-460-an-ant-on-the-move
---

# --description--

No plano euclideano, uma formiga viaja do ponto $A(0, 1)$ ao ponto $B(d, 1)$ para um número inteiro $d$.

Em cada passo, a formiga no ponto ($x_0$, $y_0$) escolhe um dos pontos da rede ($x_1$, $y_1$) que satisfaça $x_1 ≥ 0$ e $y_1 ≥ 1$ e vai direto para ($x_1$, $y_1$) com velocidade vetorial constante $v$. O valor de $v$ depende de $y_0$ e $y_1$ da seguinte forma:

- Se $y_0 = y_1$, o valor de $v$ é igual a $y_0$.
- Se $y_0 ≠ y_1$, o valor de $v$ é igual a $\frac{y_1 - y_0}{\ln y_1 - \ln y_0}$.

A imagem á esquerda é um dos possíveis caminhos para $d = 4$. Primeiro, a formiga vai de $A(0, 1)$ para $P_1(1, 3)$ a uma velocidade de $\frac{3 - 1}{\ln 3 - \ln 1} ≈ 1.8205$. Então, o tempo necessário é de $\frac{\sqrt{5}}{1.820} ≈ 1.2283$.

De $P_1(1, 3)$ para $P_2(3, 3)$, a formiga viaja à uma velocidade vetorial de 3. Então, o tempo necessário é $\frac{2}{3} ≈ 0.6667$. De $P_2(3, 3)$ para $B(4, 1)$, a formiga viaja à uma velocidade vetorial de $\frac{1 - 3}{\ln 1 - \ln 3} ≈ 1.8205$. Então, o tempo necessário será $\frac{\sqrt{5}}{1.8205} ≈ 1.2283$.

Dessa forma, o tempo total necessário é de $1.2283 + 0.6667 + 1.2283 = 3.1233$.

A imagem à direita é outro caminho. O tempo total necessário é calculado por $0.98026 + 1 + 0.98026 = 2.96052$. Isso mostra que esse é o caminho mais rápido para $d = 4$.

<img class="img-responsive center-block" alt="dois caminhos possíveis para d = 4" src="https://cdn.freecodecamp.org/curriculum/project-euler/an-ant-on-the-move.jpg" style="background-color: white; padding: 10px;" />

Considere $F(d)$ como o tempo total necessário se a formiga escolher o caminho mais rápido. Por exemplo, $F(4) ≈ 2.960.516.287$. Podemos verificar que $F(10) ≈ 4.668.187.834$ e que $F(100) ≈ 9.217.221.972$.

Calcule $F(10.000)$. Dê sua resposta arredondada para nove casas decimais.

# --hints--

`antOnTheMove()` deve retornar `18.420738199`.

```js
assert.strictEqual(antOnTheMove(), 18.420738199);
```

# --seed--

## --seed-contents--

```js
function antOnTheMove() {

  return true;
}

antOnTheMove();
```

# --solutions--

```js
// solution required
```