---
title: Derivatives
localeTitle: Derivados
---
## Derivados

A derivada é a taxa instantânea de mudança de uma função, ou a taxa de mudança de uma função em qualquer instante no tempo. A derivada é uma ferramenta de cálculo e você pode determiná-la tomando um limite.

Você pode entender o conceito de derivada comparando-o com o conceito de inclinação (a taxa média de mudança) na álgebra.

Vamos dar uma olhada em um exemplo:

Você decide dirigir de São Francisco para Santa Rosa, Califórnia - uma distância de aproximadamente 60 milhas. Você faz o passeio em uma hora; Assim, sua taxa média de mudança (velocidade) é de 60 milhas por hora.

Mas você não viajou a uma taxa de 60 milhas por hora para cada instante de sua viagem. Você começou mais devagar, depois aumentou sua velocidade e a variou ao longo do caminho e, em seguida, reduziu a velocidade para um ponto final quando chegou ao seu destino.

Vamos dar uma olhada no gráfico da sua viagem, com o eixo x representando o tempo (em minutos) e o eixo y representando a distância (em milhas). Pt. A representa São Francisco, com coordenadas (0, 0) e pt. B representa Santa Rosa, com coordenadas (60, 60). A linha curva representa a sua localização, no espaço e no tempo, enquanto viaja de São Francisco para Santa Rosa.

![imagem](https://github.com/MarkMikow/MyFiles/blob/master/img1.png?raw=true)

Você pode determinar a velocidade média (taxa da mudança na distância por tempo) da sua viagem tomando o declive de álgebra (“subir mais corrida”):

![imagem](https://github.com/MarkMikow/MyFiles/blob/master/img2.png?raw=true)

Usando o mesmo gráfico, você pode escolher dois pontos, C (x1, y1) e D (x2, y2) e encontrar a inclinação entre eles. Além disso, você pode rotular cada ponto usando a notação de função, tal que (x1, y1) se torna (x, f (x)) e (x2, y2) se torna ((x + h), f (x + h)), com h sendo a distância horizontal que pt. D é de pt. C:

![imagem](https://github.com/MarkMikow/MyFiles/blob/master/img3.png?raw=true)

A inclinação do pt. C para pt. D é:

![imagem](https://github.com/MarkMikow/MyFiles/blob/master/img4.png?raw=true)

A expressão ![imagem](https://github.com/MarkMikow/MyFiles/blob/master/img5.png?raw=true) é chamado o quociente de diferença e você pode usá-lo para encontrar a taxa média de mudança de qualquer ponto em um gráfico para qualquer outro ponto a uma distância horizontal de h unidades de distância.

Para converter a taxa média de mudança (a inclinação) em uma taxa instantânea de mudança (a derivada, notada como f (x)), você pega o limite do quociente de diferença:

![imagem](https://github.com/MarkMikow/MyFiles/blob/master/img6.png?raw=true)

Esta é a definição formal da derivada e significa que você está tomando a distância he reduzindo-a a uma quantidade infinitesimalmente pequena. Você ainda tem um declive, mas seus pontos finais são infinitamente próximos uns dos outros. Tão perto, na verdade, que eles aparecem como um ponto, ou como um instante, no tempo.

Como uma linha tangente a um ponto em um gráfico intercepta o gráfico em apenas um ponto, a derivada também é definida como a inclinação da linha tangente para qualquer ponto em um gráfico. No exemplo do gráfico acima, a derivada de cada ponto é a velocidade instantânea em que você está viajando.

Derivativos têm uma ampla gama de aplicações e são usados ​​em física, engenharia, economia e outras disciplinas.