Пусть ABC - треугольник со всеми внутренними углами, составляющим менее 120 градусов. Пусть X - любая точка внутри треугольника и XA = p, XC = q и XB = r. Ферма бросил вызов Торричелли, чтобы найти положение X такое, что p + q + r было сведено к минимуму. Торричелли смог доказать, что если на каждой стороне треугольника ABC построены равносторонние треугольники AOB, BNC и AMC, описанные окружности AOB, BNC и AMC будут пересекаться в одной точке T внутри треугольника. Более того, он доказал, что T, называемое точкой Торричелли / Ферма, минимизирует p + q + r. Еще более примечательно, что можно показать, что при минимизации суммы AN = BM = CO = p + q + r и что AN, BM и CO также пересекаются в T. <p> Если сумма минимизирована и a, b, c, p, q и r - все целые положительные числа, мы будем называть треугольник ABC треугольником Торричелли. Например, a = 399, b = 455, c = 511 является примером треугольника Торричелли с p + q + r = 784. Найдите сумму всех различных значений p + q + r ≤ 120000 для треугольников Торричелли. </p>
