<sectionid="description"> Consideremos mezclas de tres sustancias: A, B y C. Una mezcla puede describirse por una proporción de las cantidades de A, B y C en ella, es decir, (a: b: c). Por ejemplo, una mezcla descrita por la relación (2: 3: 5) contiene 20% de A, 30% de B y 50% de C. <p> Para los propósitos de este problema, no podemos separar los componentes individuales de una mezcla. Sin embargo, podemos combinar diferentes cantidades de diferentes mezclas para formar mezclas con nuevas proporciones. </p><p> Por ejemplo, digamos que tenemos tres mezclas con relaciones (3: 0: 2), (3: 6: 11) y (3: 3: 4). Al mezclar 10 unidades del primero, 20 unidades del segundo y 30 unidades del tercero, obtenemos una nueva mezcla con relación (6: 5: 9), ya que: (10 · 3/5 + 20 · 3/20 + 30 · 3/10: 10 · 0/5 + 20 · 6/20 + 30 · 3/10: 10 · 2/5 + 20 · 11/20 + 30 · 4/10) = (18: 15: 27) = (6: 5: 9) </p><p> Sin embargo, con las mismas tres mezclas, es imposible formar la relación (3: 2: 1), ya que la cantidad de B es siempre menor que la cantidad de C. </p><p> Sea n un entero positivo. Supongamos que por cada triple de enteros (a, b, c) con 0 ≤ a, b, c ≤ n y gcd (a, b, c) = 1, tenemos una mezcla con relación (a: b: c). Sea M (n) el conjunto de todas estas mezclas. </p><p> Por ejemplo, M (2) contiene las 19 mezclas con las siguientes relaciones: {(0: 0: 1), (0: 1: 0), (0: 1: 1), (0: 1: 2), ( 0: 2: 1), (1: 0: 0), (1: 0: 1), (1: 0: 2), (1: 1: 0), (1: 1: 1), (1: 1: 2), (1: 2: 0), (1: 2: 1), (1: 2: 2), (2: 0: 1), (2: 1: 0), (2: 1: 1), (2: 1: 2), (2: 2: 1)}. </p><p> Sea E (n) el número de subconjuntos de M (n) que puede producir la mezcla con relación (1: 1: 1), es decir, la mezcla con partes iguales A, B y C. Podemos verificar que E (1) ) = 103, E (2) = 520447, E (10) mod 118 = 82608406 y E (500) mod 118 = 13801403. Encuentre E (10 000 000) mod 118. </p></section>
