<sectionid="description"> La raíz cuadrada de 2 se puede escribir como una fracción continua infinita. <p> √2 = 1 + 1 </p><p> 2 + 1 </p><p> 2 + 1 </p><p> 2 + 1 </p><p> 2 + ... </p><p> La fracción continua infinita se puede escribir, √2 = [1; (2)], (2) indica que 2 repeticiones hasta el infinito. De manera similar, √23 = [4; (1,3,1,8)]. Resulta que la secuencia de valores parciales de fracciones continuas para raíces cuadradas proporciona las mejores aproximaciones racionales. Consideremos los convergentes para √2. </p><p> 1 + 1 = 3/2 </p><p> 2 </p><p> 1 + 1 = 7/5 </p><p> 2 + 1 </p><p> 2 </p><p> 1 + 1 = 17/12 </p><p> 2 + 1 </p><p> 2 + 1 </p><p> 2 </p><p> 1 + 1 = 41/29 </p><p> 2 + 1 </p><p> 2 + 1 </p><p> 2 + 1 </p><p> 2 </p><p> Por lo tanto, la secuencia de los primeros diez convergentes para √2 es: 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985, 3363/2378 , ... Lo que más sorprende es que la constante matemática importante, e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1, ..., 1,2k, 1, ...]. Los primeros diez términos en la secuencia de convergentes para e son: 2, 3, 8/3, 11/4, 19/7, 87/32, 106/39, 193/71, 1264/465, 1457/536,. .. La suma de dígitos en el numerador del décimo convergente es 1 + 4 + 5 + 7 = 17. Encuentre la suma de los dígitos en el numerador del centésimo convergente de la fracción continua para e. </p></section>