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5900f5131000cf542c510025	Problema 422: Sequenza di punti su un'iperbole	5	302092	problem-422-sequence-of-points-on-a-hyperbola

--description--

Sia H l'iperbole definita dall'equazione 12x^2 + 7xy - 12y^2 = 625.

Definiamo X come il punto (7, 1). Si può vedere che X è in H.

Ora definiamo una sequenza di punti in H, \\{P_i : i ≥ 1\\}:

P_1 = (13, \frac{61}{4}).
P_2 = (\frac{-43}{6}, -4).
Per i > 2, P_i è il punto unico in H che è diverso da P_{i - 1} e tale che la linea P_iP_{i - 1} sia parallela alla linea P_{i - 2}X. Può essere dimostrato che P_i è ben definito, e che le sue coordinate sono sempre razionali.

animazione che mostra i punti di definizione da P_1 a P_6

Sia P_3 = (\frac{-19}{2}, \frac{-229}{24}), P_4 = (\frac{1267}{144}, \frac{-37}{12}) e P_7 = (\frac{17\\,194\\,218\\,091}{143\\,327\\,232}, \frac{274\\,748\\,766\\,781}{1\\,719\\,926\\,784}).

Trova P_n per n = {11}^{14} nel seguente formato: Se P_n = (\frac{a}{b}, \frac{c}{d}) dove le frazioni sono in termini più bassi e i denominatori sono positivi, allora la risposta è (a + b + c + d)\bmod 1\\,000\\,000\\,007.

Per n = 7, la risposta sarebbe stata: 806\\,236\\,837.

--hints--

sequenceOfPointsOnHyperbola() dovrebbe restituire 92060460.

assert.strictEqual(sequenceOfPointsOnHyperbola(), 92060460);

--seed--

--seed-contents--

function sequenceOfPointsOnHyperbola() {

  return true;
}

sequenceOfPointsOnHyperbola();

--solutions--

// solution required

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