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Limits Intro | 限制简介 |
范围
要说函数f(x)的极限意味着通过使x足够接近但不等于p,可以使f(x)尽可能接近L。
例
设f(x)= x。然后f(x)的极限x倾向于1等于1.也就是说,当你走x,0,然后是0.01,然后是0.1,然后是0.5,并通过所有的值时,函数的值x轴上的值越来越接近1,该函数f(x)= x的值将倾向于1.波纹,函数的图形。
当一个人说f(x)非常接近L,但没有“触摸”它时,意味着它们的距离非常小,同样,x倾向于a,但不等于a,意味着x距离很小从一个。为此,使用绝对值的定义。
| f(x) - L | <ε,| x - a | <δ
符号,epsilon和delta分别代表任意小的数字。
上图说明如下:对于您可能选择的任何小ε> 0(ε),可以在L +ε和L-ε之间绘制条带,即黄色区域或水平条带。然后,在选择了epsilon之后,有一个δ> 0(delta),可以确定,它允许你绘制一个垂直条带,就像上图中的粉红色区域,粉红色区域,在+δ之间和a - δ。现在,如果你在粉红色区域中取任何x,即a,那么这个x将比a +δ和a-δ更接近a。要么,
| x - a | <δ
如果您现在确定图表上您选择的x给出的点,那么图表上的这一点将位于粉红色和黄色区域的交点。这意味着该函数值f(x)将比L +ε和L +ε更接近于L.要么,
| f(x) - L | <ε
因此,如果在粉红色区域中取x的任何值,则x的那些值的图形将位于黄色区域中。
好吧,想象以下情况:您和您的朋友将使用地图进行令人兴奋的旅行。你会开车,你的朋友会为你处理地图。现在,对于你朋友给你读的地图中的每英寸,如果你愿意的话,车会移动,假设,2公里或1.24英里。请注意,尽管我们使用的是单位,但只是为了理解它,我们可以将“你的函数”写成:
f(英寸)= 2km
所以,如果你的朋友在地图上看了2英寸,你就会移动4公里。你们两个现在累了,决定休息,但你和你的朋友一样聪明,你们两个都在想:
- 嘿,如果我倾向于为你读书,从地图上看,接下来的10英寸,我们累了,不得不时不时地休息,所以我不会读到整整十英寸,但我相信我会尽可能接近,你认为我们会旅行多少?
你可以这样思考:
- 我知道你读的每英寸,我开车2公里!所以,如果你倾向于阅读10英寸......嗯...我们可能会尽可能接近20公里!不完全是20,但我们会非常接近。
这是一种说明这个概念的方法,假设你走在图上,函数是你的“规则”,x是“你要走多远”,f(x)是你实际行走的值,给出你得到的规则。
属性
考虑到函数的限制存在,然后:
- 和
总和的限制是限制的总和。
令f(x)等于x,f(x)= x并且g(x)= 2x。设x倾向于1.限制:
lim(f(x)+ g(x))= lim f(x)+ lim g(x)= lim x + lim 2x = 1 + 2 = 3
或者lim(x + 2x)= lim(3x)= 3
- 产品
产品的限制是限制的产物。
考虑前一个例子中的相同函数,f(x)= x和g(x)= 2x。现在,使x趋于2。
lim(f(x)* g(x))= lim f(x)* lim g(x)= 2 * 4 = 8
或lim(x * 2x)= lim(2x ^ 2)= 2 * 4 = 8
- 产品不变
您可以将倍增常数“限制”出限制。
再次假设f(x)= x。限制,现在x趋于5:
lim(10 * x)= 10 lim(x)= 50
lim(10x)= 50
- 师
划分的限制是限制的划分。
设f(x)= 2x且g(x)= x + 1.确保您所遵循的函数不为零。使x趋于2,你有:
lim(2x / x)= lim 2x / lim x = 4/2 = 2
或lim(2x / 2)= lim 2 = 2.这是一个常数函数,因此无论你在x轴上行走多少,该值总是趋向于一个特定值。
- 功率
如果n是整数。
设f(x)等于x + 1,让x趋于2.假设以下限制:
lim [(x + 1)] ^ 2 =(3)^ 2 = 9
lim [(x + 1)] ^ 2 = lim(x ^ 2 + 2x + 1)= 9(注意你也可以使用sum属性!)