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id: 5900f52e1000cf542c510041
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title: 问题450:Hypocycloid和Lattice点
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challengeType: 5
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videoUrl: ''
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dashedName: problem-450-hypocycloid-and-lattice-points
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# --description--
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内摆线是由在较大圆内滚动的小圆上的点绘制的曲线。以原点为中心,从最右边开始的内摆线的参数方程由下式给出:$ x(t)=(R - r)\\ cos(t)+ r \\ cos(\\ frac {R - r} rt)$ $ y(t)=(R - r)\\ sin(t) - r \\ sin(\\ frac {R - r} rt)$其中R是大圆的半径,r是小圆的半径圈。
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设$ C(R,r)$是具有半径为R和r的内摆线上的整数坐标的不同点的集合,并且对应的值为t,使得$ \\ sin(t)$和$ \\ cos( t)$是有理数。
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设$ S(R,r)= \\ sum \_ {(x,y)\\ in C(R,r)} | x | + | y | $是$ C(R,r)$中点的x和y坐标的绝对值之和。
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设$ T(N)= \\ sum *{R = 3} ^ N \\ sum* {r = 1} ^ {\\ lfloor \\ frac {R - 1} 2 \\ rfloor} S(R,r)$是$的总和S(R,r)$表示R和r正整数,$ R \\ leq N $和$ 2r <R $。
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给出:C(3,1)= {(3,0),(-1,2),( - 1,0),( - 1,-2)} C(2500,1000)= {(2500 ,0),(772,2376),(772,-2376),(516,1792),(516,-1792),(500,0),(68,504),(68,-504),( -1356,1088),( - 1356,-1088),( - 1500,1000),( - 1500,-1000)}
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注意:( - 625,0)不是C(2500,1000)的元素,因为$ \\ sin(t)$不是t的相应值的有理数。
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S(3,1)=(| 3 | + | 0 |)+(| -1 | + | 2 |)+(| -1 | + | 0 |)+(| -1 | + | -2 |) = 10
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T(3)= 10; T(10)= 524; T(100)= 580442; T(103)= 583108600。
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求T(106)。
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# --hints--
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`euler450()`应该返回583333163984220900。
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assert.strictEqual(euler450(), 583333163984220900);
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# --seed--
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## --seed-contents--
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```js
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function euler450() {
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return true;
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}
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euler450();
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```
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# --solutions--
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```js
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// solution required
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