3.0 KiB
title | localeTitle |
---|---|
Euler's Method | طريقة أويلر |
طريقة أويلر
طريقة أويلر هي إجراء رقمي من الدرجة الأولى لحل المعادلات التفاضلية العادية (ODE) بقيمة أولية معينة.
مشكلة القيمة الأولية العامة
منهجية
تستخدم طريقة أويلر الصيغة البسيطة ،
لإنشاء الظل عند النقطة x
والحصول على قيمة y(x+h)
، التي يكون ميلها ،
في طريقة أويلر ، يمكنك تقريب منحنى الحل بواسطة المماس في كل فترة زمنية (أي ، بسلسلة من مقاطع الخطوط القصيرة) ، عند خطوات h
.
بشكل عام ، إذا كنت تستخدم حجم خطوة صغير ، فإن دقة التقريب تزيد.
الصيغة العامة
القيمة الوظيفية عند أي نقطة b
، مقدمة من y(b)
أين،
- ن = عدد الخطوات
- h = عرض الفاصل (حجم كل خطوة)
شبة الكود
مثال
تجد y(1)
، نظرا
الحل من الناحية التحليلية ، الحل هو y = e x و y(1)
= 2.71828
. (ملاحظة: هذا الحل التحليلي لمجرد مقارنة الدقة.)
باستخدام طريقة أويلر ، مع مراعاة h
= 0.2
، 0.1
، 0.01
، يمكنك رؤية النتائج في الرسم البياني أدناه.
عند h
= 0.2
، y(1)
= 2.48832
(الخطأ = 8.46٪)
عند h
= 0.1
، y(1)
= 2.59374
(الخطأ = 4.58٪)
عند h
= 0.01
، y(1)
= 2.70481
(الخطأ = 0.50٪)
يمكنك أن تلاحظ ، كيف تتحسن الدقة عندما تكون الخطوات صغيرة.