43 lines
4.4 KiB
Markdown
43 lines
4.4 KiB
Markdown
---
|
|
title: Derivatives
|
|
localeTitle: المشتقات
|
|
---
|
|
## المشتقات
|
|
|
|
المشتق هو المعدل الفوري لتغيير وظيفة ، أو معدل تغيير وظيفة في أي لحظة معينة في الوقت المناسب. مشتق هو أداة حساب التفاضل والتكامل ويمكنك تحديد ذلك من خلال اتخاذ حد.
|
|
|
|
يمكنك فهم مفهوم المشتق بمقارنته بمفهوم المنحدر (متوسط معدل التغيير) في الجبر.
|
|
|
|
دعونا نلقي نظرة على مثال:
|
|
|
|
قررت أن تقود سيارتك من سان فرانسيسكو إلى سانتا روزا ، كاليفورنيا - على مسافة 60 ميلاً تقريبًا. أنت تجعل محرك الأقراص في ساعة واحدة. وبالتالي ، فإن معدل التغيير (السرعة) هو 60 ميل في الساعة.
|
|
|
|
لكنك لم تسافر بمعدل 60 ميل في الساعة لكل لحظة من رحلتك. بدأت بشكل أبطأ ، ثم زادت سرعتك وتفاوتت على طول الطريق ، ثم تباطأت إلى نقطة توقف كاملة عند وصولك إلى وجهتك.
|
|
|
|
دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني لرحلتك ، مع المحور السيني الذي يمثل الوقت (بالدقائق) ومحور y يمثل المسافة (بالأميال). حزب العمال. يمثل A San Francisco ، مع إحداثيات (0 ، 0) و pt. B تمثل سانتا روزا ، مع إحداثيات (60 ، 60). يمثل الخط المنحني موقعك ، في المكان والزمان ، أثناء سفرك من سان فرانسيسكو إلى سانتا روزا.
|
|
|
|
![صورة](https://github.com/MarkMikow/MyFiles/blob/master/img1.png?raw=true)
|
|
|
|
يمكنك تحديد متوسط السرعة (معدل التغيير في المسافة لكل مرة) من رحلتك عن طريق أخذ منحدر الجبر ("الارتفاع فوق المدى"):
|
|
|
|
![صورة](https://github.com/MarkMikow/MyFiles/blob/master/img2.png?raw=true)
|
|
|
|
باستخدام نفس الرسم البياني ، يمكنك اختيار أي نقطتين ، C (x1، y1) و D (x2، y2) والعثور على الميل بينهما. علاوة على ذلك ، يمكنك تصنيف كل نقطة باستخدام تدوين الدالة ، بحيث تصبح (x1 و y1) (x و f (x)) و (x2 و y2) ((x + h) و f (x + h)) ، مع ح كونها المسافة الأفقية التي pt. D من pt. C:
|
|
|
|
![صورة](https://github.com/MarkMikow/MyFiles/blob/master/img3.png?raw=true)
|
|
|
|
المنحدر من pt. ج إلى نقطة. D هو:
|
|
|
|
![صورة](https://github.com/MarkMikow/MyFiles/blob/master/img4.png?raw=true)
|
|
|
|
التعبير ![صورة](https://github.com/MarkMikow/MyFiles/blob/master/img5.png?raw=true) يسمى حاصل الفرق ، ويمكنك استخدامه للعثور على معدل معدل التغيير من أي نقطة على الرسم البياني إلى أي نقطة أخرى على مسافة أفقية من وحدات h بعيدا.
|
|
|
|
لتحويل متوسط معدل التغيير (الميل) إلى معدل فوري للتغير (المشتق ، الموضح في f (x)) ، فإنك تأخذ الحد الأقصى لحاصل الفرق:
|
|
|
|
![صورة](https://github.com/MarkMikow/MyFiles/blob/master/img6.png?raw=true)
|
|
|
|
هذا هو التعريف الرسمي للأداة المشتقة ويعني أنك تأخذ المسافة h وتقلصها إلى كمية صغيرة لا متناهية الصغر. لا يزال لديك منحدر ، ولكن نقاطه النهائية قريبة من بعضها البعض. قريبة جدا ، في الواقع ، أنها تظهر كنقطة واحدة ، أو لحظة واحدة ، في الوقت المناسب.
|
|
|
|
نظرًا لأن مماس خط إلى نقطة على الرسم البياني يتقاطع مع الرسم البياني عند نقطة واحدة فقط ، يتم تعريف المشتق أيضًا بأنه ميل الخط المماس إلى أي نقطة على الرسم البياني. في مثال الرسم البياني أعلاه ، تكون مشتقة كل نقطة هي السرعة الآنية التي تسافر إليها.
|
|
|
|
للمشتقات مجموعة واسعة من التطبيقات وتستخدم في الفيزياء والهندسة والاقتصاد والتخصصات الأخرى. |