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| id | title | challengeType | forumTopicId | dashedName |
|---|---|---|---|---|
| 5900f52e1000cf542c510041 | Problema 450: Ipocicloide e punti del reticolo | 1 | 302123 | problem-450-hypocycloid-and-lattice-points |
--description--
Un ipocicloide è la curva disegnata da un punto su un cerchio piccolo che rotola all'interno di un cerchio più grande. Le equazioni parametriche di un ipocicloide centrato all'origine, e a partire dal punto più a destra, sono date da:
x(t) = (R - r) \cos(t) + r \cos(\frac{R - r}{r}t)y(t) = (R - r) \sin(t) - r \sin(\frac{R - r}{r} t)Dove R è il raggio del grande cerchio e r il raggio del piccolo cerchio.
Sia C(R, r) l'insieme di punti distinti con coordinate intere sull'ipocicloide con raggio R e r e per il quale esiste un valore corrispondente di t tale che \sin(t) e \cos(t) siano numeri razionali.
Sia S(R, r) = \sum\_{(x,y) \in C(R, r)} |x| + |y| la somma dei valori assoluti delle coordinate x e y dei punti in C(R, r).
Sia T(N) = \sum_{R = 3}^N \sum_{r=1}^{\left\lfloor \frac{R - 1}{2} \right\rfloor} S(R, r) la somma di S(R, r) per R e r interi positivi, R\leq N and 2r < R.
Ti è dato che:
\begin{align} C(3, 1) = & \\{(3, 0), (-1, 2), (-1,0), (-1,-2)\\} \\\\
C(2500, 1000) = & \\{(2500, 0), (772, 2376), (772, -2376), (516, 1792), (516, -1792), (500, 0), (68, 504), \\\\ &(68, -504),(-1356, 1088), (-1356, -1088), (-1500, 1000), (-1500, -1000)\\} \end{align}$$
**Nota:**(-625, 0) non è un elemento di $C(2500, 1000)$ perchè $\sin(t)$ non è un numero razionale per i corrispondenti valori di $t$.
$S(3, 1) = (|3| + |0|) + (|-1| + |2|) + (|-1| + |0|) + (|-1| + |-2|) = 10$
$T(3) = 10$; $T(10) = 524$; $T(100) = 580\\,442$; $T({10}^3) = 583\\,108\\,600$.
Trova $T({10}^6)$.
# --hints--
`hypocycloidAndLatticePoints()` dovrebbe restituire `583333163984220900`.
```js
assert.strictEqual(hypocycloidAndLatticePoints(), 583333163984220900);
```
# --seed--
## --seed-contents--
```js
function hypocycloidAndLatticePoints() {
return true;
}
hypocycloidAndLatticePoints();
```
# --solutions--
```js
// solution required
```