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Raw Blame History

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5900f54c1000cf542c51005e	Problema 478: Miscele	1	302155	problem-478-mixtures

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Consideriamo miscele di tre sostanze: A, B e C. Una miscela può essere descritta da un rapporto tra le quantità di A, B$e $C in essa, cioè, (a : b : c). Ad esempio, una miscela descritta dal rapporto (2 : 3 : 5) contiene il 20% A, il 30% B e il 50% C.

Ai fini di questo problema, non possiamo separare i singoli componenti da una miscela. Tuttavia, possiamo combinare diverse quantità di miscele diverse per formare miscele con nuovi rapporti.

Per esempio, diciamo che abbiamo tre miscele con rapporti (3 : 0 : 2), (3 : 6 : 11) e (3 : 3 : 4). Mescolando 10 unità della prima, 20 unità della seconda e 30 unità della terza, otteniamo una nuova miscela con rapporto (6 : 5 : 9), poiché: (10 \times \frac{3}{5} + 20 \times \frac{3}{20} + 30 \times \frac{3}{10} : 10 \times \frac{0}{5} + 20 \times \frac{6}{20} + 30 \times \frac{3}{10} : 10 \times \frac{2}{5} + 20 \times \frac{11}{20} + 30 \times \frac{4}{10}) = (18 : 15 : 27) = (6 : 5 : 9)

Tuttavia, con le stesse tre miscele, è impossibile formare il rapporto (3 : 2 : 1), poiché la quantità di B è sempre inferiore alla quantità di C.

Sia n un numero intero positivo. Supponiamo che per ogni tripletta di interi (a, b, c) con 0 ≤ a, b, c ≤ n e gcd(a, b, c) = 1, abbiamo una miscela con rapporto (a : b : c). Sia M(n) l'insieme di tutte queste miscele.

Ad esempio, M(2) contiene le 19 miscele con i seguenti rapporti:

{(0 : 0 : 1), (0 : 1 : 0), (0 : 1 : 1), (0 : 1 : 2), (0 : 2 : 1), (1 : 0 : 0), (1 : 0 : 1), (1 : 0 : 2), (1 : 1 : 0), (1 : 1 : 1), (1 : 1 : 2), (1 : 2 : 0), (1 : 2 : 1), (1 : 2 : 2), (2 : 0 : 1), (2 : 1 : 0), (2 : 1 : 1), (2 : 1 : 2), (2 : 2 : 1)}.

Sia E(n) il numero di sottoinsiemi di M(n) che possono produrre la miscela con rapporto (1 : 1 : 1), cioè, la miscela con parti uguali A, B e C.

Possiamo verificare che E(1) = 103, E(2) = 520\\,447, E(10)\bmod {11}^8 = 82\\,608\\,406 e E(500)\bmod {11}^8 = 13\\,801\\,403.

Trova E(10\\,000\\,000)\bmod {11}^8.

--hints--

mixtures() dovrebbe restituire 59510340.

assert.strictEqual(mixtures(), 59510340);

--seed--

--seed-contents--

function mixtures() {

  return true;
}

mixtures();

--solutions--

// solution required

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