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Raw Blame History

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5900f3ac1000cf542c50febf	Problema 64: radici quadrate con periodo dispari	1	302176	problem-64-odd-period-square-roots

--description--

Tutte le radici quadrate sono periodiche quando sono scritte come frazioni continue e possono essere scritte nella forma:

\\displaystyle \\quad \\quad \\sqrt{N}=a_0+\\frac 1 {a_1+\\frac 1 {a_2+ \\frac 1 {a3+ \\dots}}}

Per esempio, consideriamo \\sqrt{23}:

\\quad \\quad \\sqrt{23}=4+\\sqrt{23}-4=4+\\frac 1 {\\frac 1 {\\sqrt{23}-4}}=4+\\frac 1 {1+\\frac{\\sqrt{23}-3}7}

Se continuiamo otterremmo questa espansione:

\\displaystyle \\quad \\quad \\sqrt{23}=4+\\frac 1 {1+\\frac 1 {3+ \\frac 1 {1+\\frac 1 {8+ \\dots}}}}

Il processo può essere riassunto come seque:

\\quad \\quad a_0=4, \\frac 1 {\\sqrt{23}-4}=\\frac {\\sqrt{23}+4} 7=1+\\frac {\\sqrt{23}-3} 7

\\quad \\quad a_1=1, \\frac 7 {\\sqrt{23}-3}=\\frac {7(\\sqrt{23}+3)} {14}=3+\\frac {\\sqrt{23}-3} 2

\\quad \\quad a_2=3, \\frac 2 {\\sqrt{23}-3}=\\frac {2(\\sqrt{23}+3)} {14}=1+\\frac {\\sqrt{23}-4} 7

\\quad \\quad a_3=1, \\frac 7 {\\sqrt{23}-4}=\\frac {7(\\sqrt{23}+4)} 7=8+\\sqrt{23}-4

\\quad \\quad a_4=8, \\frac 1 {\\sqrt{23}-4}=\\frac {\\sqrt{23}+4} 7=1+\\frac {\\sqrt{23}-3} 7

\\quad \\quad a_5=1, \\frac 7 {\\sqrt{23}-3}=\\frac {7 (\\sqrt{23}+3)} {14}=3+\\frac {\\sqrt{23}-3} 2

\\quad \\quad a_6=3, \\frac 2 {\\sqrt{23}-3}=\\frac {2(\\sqrt{23}+3)} {14}=1+\\frac {\\sqrt{23}-4} 7

\\quad \\quad a_7=1, \\frac 7 {\\sqrt{23}-4}=\\frac {7(\\sqrt{23}+4)} {7}=8+\\sqrt{23}-4

Si può vedere che la sequenza si ripete. Per brevità usiamo la notazione \\sqrt{23}=\[4;(1,3,1,8)], tper indicare che il blocco (1,3,1,8) ripete indefinitamente.

Le prime dieci rappresentazioni come frazioni continuate delle radici quadrate (irrazionali) sono:

\\quad \\quad \\sqrt{2}=\[1;(2)], periodo = 1

\\quad \\quad \\sqrt{3}=\[1;(1,2)], periodo = 2

\\quad \\quad \\sqrt{5}=\[2;(4)], periodo = 1

\\quad \\quad \\sqrt{6}=\[2;(2,4)], periodo = 2

\\quad \\quad \\sqrt{7}=\[2;(1,1,1,4)], periodo = 4

\\quad \\quad \\sqrt{8}=\[2;(1,4)], periodo = 2

\\quad \\quad \\sqrt{10}=\[3;(6)], periodo = 1

\\quad \\quad \\sqrt{11}=\[3;(3,6)], periodo = 2

\\quad \\quad \\sqrt{12}=\[3;(2,6)], periodo = 2

\\quad \\quad \\sqrt{13}=\[3;(1,1,1,1,6)], periodo = 5

Esattamente quattro frazioni continuate per N \\le 13, hanno un periodo dispari.

Quante frazioni continuate hanno un periodo dispari per N \\le n?

--hints--

oddPeriodSqrts(13) dovrebbe restituire un numero.

assert(typeof oddPeriodSqrts(13) === 'number');

oddPeriodSqrts(500) dovrebbe restituire 83.

assert.strictEqual(oddPeriodSqrts(500), 83);

oddPeriodSqrts(1000) dovrebbe restituire 152.

assert.strictEqual(oddPeriodSqrts(1000), 152);

oddPeriodSqrts(5000) dovrebbe restituire 690.

assert.strictEqual(oddPeriodSqrts(5000), 690);

oddPeriodSqrts(10000) dovrebbe restituire 1322.

assert.strictEqual(oddPeriodSqrts(10000), 1322);

--seed--

--seed-contents--

function oddPeriodSqrts(n) {

  return true;
}

oddPeriodSqrts(13);

--solutions--

function oddPeriodSqrts(n) {
  // Based on https://www.mathblog.dk/project-euler-continued-fractions-odd-period/
  function getPeriod(num) {
    let period = 0;
    let m = 0;
    let d = 1;
    let a = Math.floor(Math.sqrt(num));
    const a0 = a;
    while (2 * a0 !== a) {
      m = d * a - m;
      d = Math.floor((num - m ** 2) / d);
      a = Math.floor((Math.sqrt(num) + m) / d);
      period++;
    }
    return period;
  }

  function isPerfectSquare(num) {
    return Number.isInteger(Math.sqrt(num));
  }

  let counter = 0;
  for (let i = 2; i <= n; i++) {
    if (!isPerfectSquare(i)) {
      if (getPeriod(i) % 2 !== 0) {
        counter++;
      }
    }
  }
  return counter;
}

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