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5900f4051000cf542c50ff18 | 5 | Problem 153: Investigating Gaussian Integers | Problema 153: Investigando Inteiros Gaussianos |
Description
Se introduzirmos o número imaginário i, esta equação tem duas soluções: x = ie x = -i.
Se dermos mais um passo, a equação (x-3) 2 = -4 tem duas soluções complexas: x = 3 + 2i e x = 3-2i. x = 3 + 2i e x = 3-2i são chamados conjugados complexos dos outros.
Números da forma a + bi são chamados números complexos.
Em geral a + bi e a-bi são o conjugado complexo de cada um. Um Integral Gaussiano é um número complexo a + bi tal que tanto a como b são inteiros.
Os inteiros regulares também são inteiros de Gauss (com b = 0).
Para distingui-los dos inteiros de Gauss com b ≠ 0, chamamos esses inteiros de "inteiros racionais".
Um inteiro Gaussiano é chamado de divisor de um inteiro racional n se o resultado também for um inteiro Gaussiano.
Se, por exemplo, dividirmos 5 por 1 + 2i, podemos simplificar da seguinte maneira:
Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado complexo de 1 + 2i: 1−2i.
O resultado é .
Então 1 + 2i é um divisor de 5.
Note que 1 + i não é um divisor de 5 porque.
Note também que se o Integral Gaussiano (a + bi) é um divisor de um inteiro racional n, então seu conjugado complexo (a-bi) é também um divisor de n. De fato, 5 tem seis divisores de tal forma que a parte real é positiva: {1, 1 + 2i, 1 - 2i, 2 + i, 2 - i, 5}.
Segue-se uma tabela de todos os divisores para os primeiros cinco números inteiros positivos:
n Divisores inteiros de Gauss com partsum reais positivos s (n) destes
divisors111 21, 1 + i, 1-i, 25 31, 34 41, 1 + i, 1-i, 2, 2 + 2i, 2-2i, 413 51, 1 + 2i, 1-2i, 2 + i, 2-i, 512 Para divisores com partes reais positivas, então, temos:. Para 1 ≤ n ≤ 105, ∑ s (n) = 17924657155. O que é ∑ s (n) para 1 ≤ n ≤ 108?
Instructions
Tests
tests:
- text: <code>euler153()</code> deve retornar 17971254122360636.
testString: 'assert.strictEqual(euler153(), 17971254122360636, "<code>euler153()</code> should return 17971254122360636.");'
Challenge Seed
function euler153() {
// Good luck!
return true;
}
euler153();
Solution
// solution required