9.1 KiB
| title | localeTitle |
|---|---|
| Binary Search Trees | 二叉搜索树 |
二叉搜索树
树是由具有以下特征的节点组成的数据结构：
- 每棵树都有一个根节点（在顶部）有一些值。
- 根节点具有零个或多个子节点。
- 每个子节点都有零个或多个子节点，依此类推。这会在树中创建一个子树。每个节点都有自己的子树，由他的孩子和他们的孩子等组成。这意味着每个节点本身都可以是一棵树。
二叉搜索树（BST）添加了以下两个特征：
- 每个节点最多包含两个子节点。
- 对于每个节点，其左后代节点的值小于当前节点的值，而当前节点的值小于右后代节点（如果有的话）。
BST建立在二进制搜索算法的基础上，允许快速查找，插入和删除节点。它们的设置方式意味着，平均而言，每次比较都允许操作跳过大约一半的树，因此每次查找，插入或删除都需要与树中存储的项目数的对数成比例的时间， O(log n) 。然而，有时候最糟糕的情况可能发生，当树不平衡时，所有这三个函数的时间复杂度都是O(n) 。这就是为什么自平衡树（AVL，红黑等）比基本BST更有效的原因。
**最糟糕的情况示例：**当您继续添加_始终_大于节点之前的节点（它的父节点）时会发生这种情况，当您始终添加值低于其父节点的节点时，也会发生同样的情况。
BST的基本操作
- 创建：创建一个空树。
- 插入：在树中插入一个节点。
- 搜索：在树中搜索节点。
- 删除：从树中删除节点。
创建
最初创建没有任何节点的空树。必须指向根节点的变量/标识符用NULL值初始化。
搜索
您总是开始在根节点搜索树并从那里向下移动。您将每个节点中的数据与您要查找的数据进行比较。如果比较的节点不匹配，那么您可以继续使用右子项或左子项，这取决于以下比较的结果：如果您要搜索的节点低于您要比较的节点，你继续前往左边的孩子，否则（如果它更大）你会去找右边的孩子。为什么？因为BST是结构化的（根据其定义），正确的孩子总是比父母大，而左孩子总是较小。
插入
它与搜索功能非常相似。您再次从树的根开始并递归下去，搜索插入新节点的正确位置，方法与搜索功能中说明的相同。如果树中已存在具有相同值的节点，则可以选择是否插入副本。有些树允许重复，有些则不允许。这取决于具体的实施。
删除
当您尝试删除节点时，可能会发生3种情况。如果有，
- 没有子树（没有孩子）：这个是最简单的子树。您只需删除节点，无需任何其他操作。
- 一个子树（一个子树）：您必须确保在删除节点后，其子节点将连接到已删除节点的父节点。
- 两个子树（两个子节点）：您必须找到并替换要删除的节点及其后续节点（右侧子树中最常用的节点）。
创建树的时间复杂度为O(1) 。搜索，插入或删除节点的时间复杂度取决于树h的高度，因此最坏的情况是O(h) 。
节点的前身
前置任务可以被描述为在您当前所在节点之前的节点。要查找当前节点的前一个节点，请查看左子树中最右侧/最大的叶节点。
节点的后继者
后继者可以被描述为在您当前所在节点之后的节点。要查找当前节点的后继节点，请查看右侧子树中最左侧/最小的叶节点。
特殊类型的BT
- 堆
- 红黑树
- B树
- Splay树
- N-ary树
- Trie（基数树）
运行
数据结构：数组
- 最坏情况表现：
O(log n) - 最佳表现：
O(1) - 平均表现：
O(log n) - 最坏情况的空间复杂度：
O(1)
其中n是BST中的节点数。
BST的实施
这是一个BST节点的定义，它有一些数据，引用它的左右子节点。
struct node {
int data;
struct node *leftChild;
struct node *rightChild;
};
搜索操作
每当要搜索元素时，从根节点开始搜索。然后，如果数据小于键值，则在左子树中搜索元素。否则，搜索右子树中的元素。对每个节点遵循相同的算法。
struct node* search(int data){
struct node *current = root;
printf("Visiting elements: ");
while(current->data != data){
if(current != NULL) {
printf("%d ",current->data);
//go to left tree
if(current->data > data){
current = current->leftChild;
}//else go to right tree
else {
current = current->rightChild;
}
//not found
if(current == NULL){
return NULL;
}
}
}
return current;
}
插入操作
无论何时插入元素，首先要找到其正确的位置。从根节点开始搜索，然后如果数据小于键值，则在左子树中搜索空位置并插入数据。否则，在右子树中搜索空位置并插入数据。
void insert(int data) {
struct node *tempNode = (struct node*) malloc(sizeof(struct node));
struct node *current;
struct node *parent;
tempNode->data = data;
tempNode->leftChild = NULL;
tempNode->rightChild = NULL;
//if tree is empty
if(root == NULL) {
root = tempNode;
} else {
current = root;
parent = NULL;
while(1) {
parent = current;
//go to left of the tree
if(data < parent->data) {
current = current->leftChild;
//insert to the left
if(current == NULL) {
parent->leftChild = tempNode;
return;
}
}//go to right of the tree
else {
current = current->rightChild;
//insert to the right
if(current == NULL) {
parent->rightChild = tempNode;
return;
}
}
}
}
}
二进制搜索树（BST）还使我们能够快速访问前辈和后继者。 前置任务可以被描述为在您当前所在节点之前的节点。
- 要查找当前节点的前任，请查看左子树中最右边/最大的叶节点。 后继者可以被描述为在您当前所在节点之后的节点。
- 要查找当前节点的后继节点，请查看右子树中最左侧/最小的叶节点。
让我们看一下在树上运行的几个过程。
由于树是递归定义的，因此编写在树本身上递归的例程是很常见的。
因此，例如，如果我们想要计算树的高度，即根节点的高度，我们可以继续并递归地执行，通过树。所以我们可以说：
- 例如，如果我们有一个nil树，那么它的高度为0。
- 否则，我们是1加上左子树和右子树的最大值。
- 因此，如果我们查看一个叶子，例如，那个高度将是1，因为左子的高度是nil，是0，nil右子的高度也是0.所以最大值是0，然后是1加0。
高度（树）算法
if tree = nil:
return 0
return 1 + Max(Height(tree.left),Height(tree.right))
这是C ++中的代码
int maxDepth(struct node* node)
{
if (node==NULL)
return 0;
else
{
int rDepth = maxDepth(node->right);
int lDepth = maxDepth(node->left);
if (lDepth > rDepth)
{
return(lDepth+1);
}
else
{
return(rDepth+1);
}
}
}
我们还可以考虑计算树的大小，即树的节点数。
- 同样，如果我们有一个零树，我们有零节点。
- 否则，我们有左子节点中的节点数加上我们自己的1节点加上右子节点中的节点数。所以1加上左树的大小加上右树的大小。
大小（树）算法
if tree = nil
return 0
return 1 + Size(tree.left) + Size(tree.right)
这是C ++中的代码
int treeSize(struct node* node)
{
if (node==NULL)
return 0;
else
return 1+(treeSize(node->left) + treeSize(node->right));
}
关于freeCodeCamp YouTube频道的相关视频
以下是常见的二叉树类型：
完整二叉树/严格二叉树：如果每个节点只有0或2个子节点，则二叉树已满或严格。
18
/ \
15 30
/ \ / \
40 50 100 40
在完全二进制树中，叶节点的数量等于内部节点的数量加1。
完整的二进制树：二进制树是完整的二进制树，如果所有级别都被完全填充，除了可能是最后一级，最后一级是尽可能保留所有键
18
/ \
15 30
/ \ / \
40 50 100 40
/ \ /
8 7 9