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Definition of Real Number | 实数的定义 |
实数的定义
实数可以被认为是无限长线上的点。
实数包括所有有理数,例如___1/2,0,103.644___和_二百七十二分之二百七十一_ ,以及所有的无理数,如_PI,_的2的平方根,和_e_的。注意,不包括“复数”,包括非零虚数量的数字。
因此,任何具有十进制表示的数字,即使该表示是无限的,也是实数, _例如1.234567891 ..._我们注意到负数的平方根没有十进制表示,因此任何负数的平方根都不是真的。恰好, _-1的_平方根恰好是“ i ”的定义, _即_虚数系统中的单位长度。下面是一个关于如何推导和定义实数的概述,但它肯定不是一个正式的证据。
考虑_1_的概念,单个实体,一个单元。让自然数集**N**由规则描述:
- _1_是自然数
- 每个自然数都只有一个后继(一个比自身大的数字)。
- _1_没有继任者。
这些定义了计数的概念,并且除了本文的范围之外还有一些规则,可以在这组新的数字**N中定义诸如加法和闭包之类的规则。该集合与_0_的概念一起创建了整数集。当将“负数”的概念添加到该组“整数”时,形成整数。负数是数字b,使得_a + b = 0_ ,其中_a_在N中** (因此_a_既不是0也不是负本身)。我们将这个联合称为_0_ , N和负数Z ,或_整数_ 。
我们在操作“ * ”下定义乘法,使得如果_a_和_b_在**Z中** ,则_a * b = c,如果_c = a + ... + a , _b_次。因此,整数中的乘法实际上只是一个总和。注意,通过该定义,可以进行负数的加法。我们现在使用乘法来定义除法,这将允许我们定义有理数。
我们在操作“ / ”下定义除法,使得如果_a_和_b_在**Z中** ,则_c = a / b_当且仅当存在_a = b * c + r时_ ,其中_r = 0_ ,并且_c_是在**Z.但是如果_a = b * c + r_ ,其中_0 <r <b_怎么办?然后_b_不均匀地划分_a_ ,并且该等式在我们的数字系统Z内是不可解的。但是,如果这个方程是可解的,并且_c_可以表示为一个_比率_ ,那么_c = a / b_尽管_b_不均匀地划分_a_ ?这暗示了一组称为_有理数_ Q的 数字 ,其成员可以表示为_a / b_ ,其中_a_和_b_在Z中** 。我们注意到**Q**中所有数字的十进制表示都是有限的或重复的。
但是,有些数字不能被描述为整数比,例如2, _pi_和_e的_平方根。所有非重复的非有限长度十进制数都是不合理的。事实上,这个属性适用于所有合理的数字基础。通过用这些无理数来“填充有理数”之间的间隙,可以构造实数**R.**
请注意,计算机实际上并不使用实数,而是计算机使用二进制整数,可用于表示“浮点”数字或整数。