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5900f4051000cf542c50ff18	問題 153: ガウス整数を調べ上げる	5	301784	problem-153-investigating-gaussian-integers

--description--

式 x^2 = -1 が実数 x に対する解を持たないことは周知のとおりです。

しかし虚数 i を導入すると、この式は 2 つの解を持ちます。x = i と x = -i です。

さらに一歩進めると、式 {(x - 3)}^2 = -4 は 2 つの複素数の解を持ちます。x = 3 + 2i と x = 3 - 2i です。これらは互いの共役複素数と呼ばれます。

a + bi の形式で表される数は複素数と呼ばれます。

一般に、a + bi と a − bi は互いに共役複素数です。ガウス整数とは、a と b の両方が整数である複素数 a + bi です。

普通の整数はガウス整数 (b = 0 の場合) でもあります。

b ≠ 0 であるガウス整数と区別するために、普通の整数を「有理整数」と呼びます。

有理整数 n をガウス整数で割った結果もガウス整数である場合、有理整数を割った方のガウス整数を約数 (divisor) と呼びます。

例えば、5 を 1 + 2i で割る場合は次のように簡略化できます。

分子と分母に 1 + 2i の共役複素数 (1 − 2i) を乗じます。

結果:

\frac{5}{1 + 2i} = \frac{5}{1 + 2i} \frac{1 - 2i}{1 - 2i} = \frac{5(1 - 2i)}{1 - {(2i)}^2} = \frac{5(1 - 2i)}{1 - (-4)} = \frac{5(1 - 2i)}{5} = 1 - 2i

したがって、1 + 2i は 5 の約数です。

1 + i が 5 の約数ではないことに注意してください。理由を次に示します。

\frac{5}{1 + i} = \frac{5}{2} - \frac{5}{2}i

また、ガウス整数 (a + bi) が有理整数 n の約数である場合、その共役複素数 (a − bi) も n の約数であることに注意してください。実際、5 は実部が正である約数を 6 つ持ち、それらは {1, 1 + 2i, 1 − 2i, 2 + i, 2 − i, 5} です。

下表は、最初の 5 つの正の有理整数の約数を示しています。

n	実部が正であるガウス整数の約数	約数の和 s(n)
1	1	1
2	1, 1 + i, 1 - i, 2	5
3	1, 3	4
4	1, 1 + i, 1 - i, 2, 2 + 2i, 2 - 2i, 4	13
5	1, 1 + 2i, 1 - 2i, 2 + i, 2 - i, 5	12

これにより、実部が正である約数について \displaystyle\sum_{n=1}^5 (n) = 35 が得られます。

1 ≤ n ≤ {10}^5 のとき、\displaystyle\sum_{n = 1}^{{10}^5} s(n) = 17924657155 です。

\displaystyle\sum_{n=1}^{{10}^8} s(n) を求めなさい。

--hints--

sumGaussianIntegers() は 17971254122360636 を返す必要があります。

assert.strictEqual(sumGaussianIntegers(), 17971254122360636);

--seed--

--seed-contents--

function sumGaussianIntegers() {

  return true;
}

sumGaussianIntegers();

--solutions--

// solution required

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