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Raw Blame History

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5900f4b41000cf542c50ffc7	問題 328: 最低コストを探す	5	301985	problem-328-lowest-cost-search

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整数 {1, 2, ..., n} から選ばれた秘密の数を、質問をすることで当てます。それぞれの数 (質問) を尋ねるとき、尋ねた数と同じだけのコストがかかり、得られる答えは次の 3 つのいずれかです。

「あなたの推測は秘密の数よりも小さい」
「当たり！」
「あなたの推測は秘密の数よりも大きい」

値 n が与えられているとき、最適な戦略に従えば、起こり得る最悪のケースの総コスト (すなわち、尋ねた質問の総和) が最小化します。次に例を示します。

n = 3 の場合、一番良いのはもちろん、秘密の数が "2" であるかどうかを尋ねることです。答えを聞けば、すぐに秘密の数が分かります (総コスト = 2)。

n = 8 の場合は「二分探索」型の戦略が良いかもしれません。まず "4" を尋ね、秘密の数が 4 より大きければ、さらに 1 回か 2 回尋ねる必要があります。 2 回目は "6" を尋ねます。秘密の数が 6 よりさらに大きければ、7 か 8 かを知るために 3 回目の質問が必要です。したがって、3 回目の質問は "7" であり、この最悪ケースの総コストは 4 + 6 + 7 = \mathbf{\color{red}{17}}です。

1 回目の質問で "5" を尋ねれば、n=8 に対する最悪ケースのコストを大幅に下げることができます。秘密の数が 5 よりも大きいと言われた場合、2 回目の質問は「7」となり、秘密の数がどれなのかを確実に知ることができます (総コスト 5 + 7 = \mathbf{\color{blue}{12}})。秘密の数が 5 よりも小きいと言われた場合、2 回目の質問は「3」となり、秘密の数が 3 より小さければ、3 回目の質問は "1" であり、総コストは 5 + 3 + 1 = \mathbf{\color{blue}{9}} です。 \mathbf{\color{blue}{12 > 9}} なので、この戦略における最悪ケースのコストは 12 です。これは、先ほどの「二分探索」戦略の結果よりも優れています。また、他のどの戦略よりも優れているか、少なくとも同等です。さて、ここまで n = 8 の最適な戦略を説明してきました。

上のとおり、n に対する最適な戦略によって達成される、最悪ケースのコストを C(n) とします。したがって、C(1) = 0, C(2) = 1, C(3) = 2, C(8) = 12 です。

同様に、C(100) = 400, \displaystyle\sum_{n = 1}^{100} C(n) = 17575 です。

\displaystyle\sum_{n = 1}^{200\\,000} C(n) を求めなさい。

--hints--

lowestCostSearch() は 260511850222 を返す必要があります。

assert.strictEqual(lowestCostSearch(), 260511850222);

--seed--

--seed-contents--

function lowestCostSearch() {

  return true;
}

lowestCostSearch();

--solutions--

// solution required

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