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Euler's Method | 欧拉方法 |
欧拉方法
Euler方法是用于求解具有给定初始值的常微分方程(ODE)的一阶数值过程。
一般初值问题
方法
欧拉的方法使用简单的公式,
在点x
处构造切线并获得y(x+h)
,其斜率为,
在欧拉方法中,您可以通过每个区间中的切线(即一系列短线段)以h
步长逼近解的曲线。
通常 ,如果使用小步长,则近似的精度会增加。
通式
任意点b
功能值,由y(b)
哪里,
- n =步数
- h =间隔宽度(每一步的大小)
伪代码
例
找到y(1)
,给定
通过分析求解,解是_y = e x_和y(1)
= 2.71828
。 (注意:此分析解决方案仅用于比较准确性。)
使用欧拉法,考虑h
= 0.2
, 0.1
, 0.01
,可以看到以下的图中的结果。
当h
= 0.2
, y(1)
= 2.48832
(误差= 8.46%)
当h
= 0.1
, y(1)
= 2.59374
(误差= 4.58%)
当h
= 0.01
, y(1)
= 2.70481
(误差= 0.50%)
您可以注意到,当步数很小时,准确度如何提高。