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| id | title | challengeType | forumTopicId | dashedName |
|---|---|---|---|---|
| 598eea87e5cf4b116c3ff81a | Fatores de um número de Mersenne | 5 | 302264 | factors-of-a-mersenne-number |
--description--
Um número de Mersenne é um número na forma de 2P-1.
Se P for primo, o número de Mersenne pode ser primo de Mersenne. (Se P não for primo, o número de Mersenne também não será primo.)
Na busca por números primos de Mersenne, é vantajoso eliminar expoentes, encontrando um pequeno fator antes de iniciar um [teste de Lucas-Lehmer](https://rosettacode.org/wiki/Lucas-Lehmer test "Lucas-Lehmer test"), potencialmente extenso.
Existem algoritmos muito eficientes para determinar se um número divide 2P-1 (ou, de modo equivalente, se 2P mod (o número) = 1).
Algumas linguagens já possuem implementações integradas desta operação exponente-e-mod (chamada modPow ou algo similar).
A seguir, vemos como você mesmo pode implementar este modPow:
Por exemplo, vamos calcular 223 mod 47.
Converta o expoente 23 em binário, você obtém 10111. Começando com square = 1, eleve-o repetidamente ao quadrado.
Remova a parte superior do expoente e, se for 1, multiplique square pela base da exponenciação (2). Então, calcule square modulo 47.
Use o resultado do módulo da última etapa como o valor inicial de square na próxima etapa:
Remova Opcional square pte sup multiplique 2 mod 47 ------------ ------- ------------- ------ 1*1 = 1 1 0111 1*2 = 2 2 2*2 = 4 0 111 no 4 4*4 = 16 1 11 16*2 = 32 32 32*32 = 1024 1 1 1024*2 = 2048 27 27*27 = 729 1 729*2 = 1458 1
Como 223 mod 47 = 1, 47 é um fator de 2P-1.
(Para ver isso, subtraia 1 de ambos os lados: 223-1 = 0 mod 47.)
Como mostramos que 47 é um fator, 223-1 não é primo.
Outras propriedades dos números de Mersenne nos permitem refinar ainda mais o processo.
Qualquer fator q de 2P-1 deve ser no formato 2kP+1, k, sendo um inteiro positivo ou zero. Além disso, q deve ser 1 ou 7 mod 8.
Por fim, qualquer fator potencial q deve ser [primo](https://rosettacode.org/wiki/Primality by Trial Division "Primality by Trial Division").
Como em outros algoritmos de divisão de teste, o algoritmo termina quando 2kP+1 > sqrt(N). Estes testes só funcionam em números de Mersenne, onde o P é primo. Por exemplo, M4=15 não gera fatores usando essas técnicas, mas fator em 3 e 5, nenhum dos quais se ajusta a 2kP+1.
--instructions--
Usando o método acima, encontre um fator de 2p-1.
--hints--
check_mersenne deve ser uma função.
assert(typeof check_mersenne === 'function');
check_mersenne(3) deve retornar uma string.
assert(typeof check_mersenne(3) == 'string');
check_mersenne(3) deve retornar a string M3 = 2^3-1 is prime.
assert.equal(check_mersenne(3), 'M3 = 2^3-1 is prime');
check_mersenne(23) deve retornar a string M23 = 2^23-1 is composite with factor 47.
assert.equal(check_mersenne(23), 'M23 = 2^23-1 is composite with factor 47');
check_mersenne(929) deve retornar a string M929 = 2^929-1 is composite with factor 13007.
assert.equal(
check_mersenne(929),
'M929 = 2^929-1 is composite with factor 13007'
);
--seed--
--seed-contents--
function check_mersenne(p) {
}
--solutions--
function check_mersenne(p){
function isPrime(value){
for (let i=2; i < value; i++){
if (value % i == 0){
return false;
}
if (value % i != 0){
return true;
}
}
}
function trial_factor(base, exp, mod){
let square, bits;
square = 1;
bits = exp.toString(2).split('');
for (let i=0,ln=bits.length; i<ln; i++){
square = Math.pow(square, 2) * (bits[i] == 1 ? base : 1) % mod;
}
return (square == 1);
}
function mersenne_factor(p){
let limit, k, q;
limit = Math.sqrt(Math.pow(2,p) - 1);
k = 1;
while ((2*k*p - 1) < limit){
q = 2*k*p + 1;
if (isPrime(q) && (q % 8 == 1 || q % 8 == 7) && trial_factor(2,p,q)){
return q; // q is a factor of 2**p-1
}
k++;
}
return null;
}
let f, result;
result="M"+p+" = 2^"+p+"-1 is ";
f = mersenne_factor(p);
result+=f == null ? "prime" : "composite with factor "+f;
return result;
}