5.2 KiB
| title | localeTitle |
|---|---|
| Definition of Real Number | تعريف الرقم الحقيقي |
تعريف الرقم الحقيقي
يمكن اعتبار الأرقام الحقيقية كنقاط على خط طويل بلا حدود.
تتضمن الأرقام الحقيقية جميع الأرقام المنطقية ، مثل 1/2 و 0 و 103.644 و 271/272 ، بالإضافة إلى جميع الأرقام غير المنطقية ، مثل pi ، والجذر التربيعي لـ 2 ، و e . لاحظ أنه لا يتم تضمين "الأرقام المعقدة" ، والأرقام التي تتضمن الحجم الوهمي غير الصفري.
لذلك ، أي رقم مع تمثيل عشري ، حتى لو كان هذا التمثيل لانهائي ، هو حقيقي ، على سبيل المثال 1.234567891… نلاحظ أن الجذر التربيعي للرقم السالب لا يحتوي على تمثيل عشري ، وبالتالي فإن الجذر التربيعي لأي رقم سالب غير حقيقي. فقط يحدث ذلك أن الجذر التربيعي لـ -1 فقط يحدث أن يكون تعريف " i " ، طول الوحدة في نظام الأرقام الخيالية. فيما يلي بعض الخطوط العريضة للطريقة التي يمكن للمرء أن يستنبط بها ويحدد الأرقام الحقيقية ، ولكنه بالتأكيد ليس دليلا رسميا.
النظر في فكرة 1 ، كيان واحد ، وحدة. دع مجموعة من الأعداد الطبيعية ، وصفها N بالقواعد:
- 1 هو رقم طبيعي
- يحتوي كل رقم طبيعي على خلف واحد تمامًا (رقم أكبر من نفسه).
- 1 لا يوجد لديه خليفة.
وهي تحدد مفهوم الفرز ، ومع بعض القواعد الأخرى خارج نطاق هذه المقالة ، يمكن تحديد قواعد مثل الإضافة والإغلاق ضمن هذه المجموعة الجديدة من الأرقام ، N. هذه المجموعة ، مع مفهوم 0 ، تخلق مجموعة من الأعداد الصحيحة. عندما يتم إضافة مفهوم "الرقم السالب" إلى هذه المجموعة من "الأعداد الصحيحة" ، يتم تكوين الأعداد الصحيحة. الرقم السالب هو رقم b مثل a + b = 0 ، حيث a في N (لذلك لا يكون a 0 ولا سلبي بحد ذاته). نسمي هذا الاتحاد من 0 ، N ، والأرقام السالبة Z ، أو الأعداد الصحيحة .
نحن نعرّف الضرب تحت العملية " * " بحيث يكون مثل a و b في Z ، ثم a = b = c إذا كان c = a + ... + a ، b مرة. لذلك الضرب في الأعداد الصحيحة هو مجرد مبلغ. لاحظ ، من خلال هذا التعريف ، يمكن أن تتم إضافة عدد سلبي من المرات. نستخدم الآن الضرب لتعريف التقسيم ، والذي سيسمح لنا بتعريف الأرقام المنطقية.
نحدد التقسيم تحت العملية " / " ، بحيث يكون إذا كان a و b في Z ، ثم c = a / b إذا وفقط إذا كان a = b * c + r ، حيث r = 0 ، و c في ض . ولكن ماذا لو كان a = b * c + r ، حيث 0 <r <b ؟ ثم ب لا تقسم بالتساوي لذلك، وهذه المعادلة هو غير قابل للحل ضمن لدينا Z نظام الأرقام. ولكن ماذا لو كانت هذه المعادلة قابلة للحل، ويمكن أعربت ج كنسبة، بحيث ج = أ / ب رغم ب لا يقسم بالتساوي لذلك؟ يلمح هذا إلى مجموعة من الأعداد تُعرف بالأرقام العقلانية ، Q ، التي يمكن التعبير عن أعضاءها كأ / ب ، حيث a و b في Z. نلاحظ أن جميع الأرقام العشرية للأرقام في Q إما محدودة أو متكررة.
بعض الأرقام لا يمكن وصفها بأنها نسبة من الأعداد الصحيحة ، ومع ذلك ، مثل الجذر التربيعي 2 ، pi ، و e . جميع الأرقام العشرية غير المتكررة غير المنتهية هي غير عقلانية. هذه الخاصية يحمل لجميع القواعد عقلانية للأرقام ، في الواقع. من خلال "سد الثغرات" بين الأرقام المنطقية مع هذه الأرقام غير المنطقية ، يمكن إنشاء الأرقام الحقيقية R.
يرجى ملاحظة أن أجهزة الكمبيوتر لا تعمل فعليًا بأرقام حقيقية ، بل تعمل أجهزة الكمبيوتر على الأعداد الصحيحة الثنائية التي يمكن استخدامها لتمثيل إما "أرقام عائمة" أو أعداد صحيحة.