3.5 KiB
title | localeTitle |
---|---|
Euler's Method | Метод Эйлера |
Метод Эйлера
Метод Эйлера представляет собой численную процедуру первого порядка для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с заданным начальным значением.
Общая проблема с начальным значением
методология
Метод Эйлера использует простую формулу,
построить касательную в точке x
и получить значение y(x+h)
, наклон которого равен,
В методе Эйлера вы можете аппроксимировать кривую решения касательной в каждом интервале (т. Е. Последовательностью коротких отрезков) на шагах h
.
В общем случае, если вы используете небольшой размер шага, точность приближения возрастает.
Общая формула
Функциональное значение в любой точке b
, заданное y(b)
где,
- n = количество шагов
- h = ширина интервала (размер каждого шага)
ПСЕВДОКОД
пример
Найти y(1)
, учитывая
Решая аналитически решение, y = e x и y(1)
= 2.71828
. (Примечание. Это аналитическое решение предназначено только для сравнения точности.)
Используя метод Эйлера, рассматривая h
= 0.2
, 0.1
, 0.01
, вы можете увидеть результаты на диаграмме ниже.
Когда h
= 0.2
, y(1)
= 2.48832
(ошибка = 8,46%)
Когда h
= 0.1
, y(1)
= 2.59374
(ошибка = 4,58%)
Когда h
= 0.01
, y(1)
= 2.70481
(ошибка = 0,50%)
Вы можете заметить, насколько точность улучшается, когда шаги малы.