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| id | title | challengeType | forumTopicId | dashedName |
|---|---|---|---|---|
| 5900f3d21000cf542c50fee4 | Problema 101: Polinômio ideal | 5 | 301725 | problem-101-optimum-polynomial |
--description--
Se nos forem apresentados os primeiros termos k de uma sequência, é impossível dizer com certeza o valor do termo seguinte, uma vez que existem infinitas funções polinomiais que podem modelar a sequência.
Como exemplo, vamos considerar a sequencia de números cúbicos. Isso é definido pela função de geração, u_n = n^3: 1, 8, 27, 64, 125, 216, \ldots
Suponhamos que só nos foram dados os dois primeiros termos desta sequência. Trabalhando com o princípio de que "simples é melhor", devemos assumir uma relação linear e prever que o próximo termo será 15 (diferença comum 7). Mesmo que nos fossem apresentados os três primeiros termos, pelo mesmo princípio de simplicidade, uma relação quadrática deveria ser assumida.
Definiremos OP(k, n) como o termo n^{th} da função de geração polinomial ótima para os primeiros termos k de uma sequência. Deve ficar claro que OP(k, n) gerará com precisão os termos da sequência para n ≤ k e, potencialmente, o primeiro termo incorreto (FIT) será OP(k, k+1); Nesse caso, devemos chamá-lo de OP (BOP) ruim.
Como base, se nos fosse dado apenas o primeiro termo de sequência, seria mais sensato assumir constância, ou seja, por n ≥ 2, OP(1, n) = u_1.
Assim, obtemos as seguintes OPs para a sequência cúbica:
\begin{array}{ll} OP(1, n) = 1 & 1, {\color{red}1}, 1, 1, \ldots \\\\
OP(2, n) = 7n−6 & 1, 8, {\color{red}{15}}, \ldots \\\\ OP(3, n) = 6n^2−11n+6 & 1, 8, 27, {\color{red}{58}}, \ldots \\\\
OP(4, n) = n^3 & 1, 8, 27, 64, 125, \ldots \end{array}$$
Claramente não existem BOPs para k ≥ 4. Considerando a soma dos FITs gerados pelos BOPs (indicados em $\color{red}{red}$ acima), obtemos 1 + 15 + 58 = 74. Considere a seguinte função de geração de polinômios de décimo grau:
$$u_n = 1 − n + n^2 − n^3 + n^4 − n^5 + n^6 − n^7 + n^8 − n^9 + n^{10}$$
Encontre a soma dos FITs para os BOPs.
# --hints--
`optimumPolynomial()` deve retornar `37076114526`.
```js
assert.strictEqual(optimumPolynomial(), 37076114526);
```
# --seed--
## --seed-contents--
```js
function optimumPolynomial() {
return true;
}
optimumPolynomial();
```
# --solutions--
```js
// solution required
```