83 lines
2.2 KiB
Markdown
83 lines
2.2 KiB
Markdown
---
|
||
id: 5900f4151000cf542c50ff27
|
||
title: 'Problema 168: Rotações de números'
|
||
challengeType: 5
|
||
forumTopicId: 301802
|
||
dashedName: problem-168-number-rotations
|
||
---
|
||
|
||
# --description--
|
||
|
||
Considere o número 142857. Podemos girar esse número para a direita movendo o último algarismo (7) para a frente dele, nos dando 714285.
|
||
|
||
Pode-se ver que $714285 = 5 × 142857$.
|
||
|
||
Isto demonstra uma propriedade incomum de 142857: ele é um divisor de sua rotação à direita.
|
||
|
||
Para um número inteiro de dígitos $a$ e $b$, encontre os 5 últimos dígitos da soma de todos os inteiros $n$, $10^a < n < 10^b$ que têm essa propriedade.
|
||
|
||
# --hints--
|
||
|
||
`numberRotations(2, 10)` deve retornar `98311`.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.strictEqual(numberRotations(2, 10), 98311);
|
||
```
|
||
|
||
`numberRotations(2, 100)` deve retornar `59206`.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.strictEqual(numberRotations(2, 100), 59206);
|
||
```
|
||
|
||
# --seed--
|
||
|
||
## --seed-contents--
|
||
|
||
```js
|
||
function numberRotations(a, b) {
|
||
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
|
||
numberRotations();
|
||
```
|
||
|
||
# --solutions--
|
||
|
||
```js
|
||
function numberRotations(minDigits, maxDigits) {
|
||
const DIGITS_TO_KEEP = 100000n;
|
||
const powersOfTen = Array(maxDigits).fill(0);
|
||
powersOfTen[0] = 1n;
|
||
for (let i = 1; i < maxDigits; i++) {
|
||
powersOfTen[i] = powersOfTen[i - 1] * 10n;
|
||
}
|
||
|
||
// We want numbers of the form xd * m = dx
|
||
// Or more precisely:
|
||
// (x * 10 + d) * m = d*10^(n-1) + x
|
||
// Solving for x:
|
||
// x = d (10^(n-1) - m) / (10 * m - 1)
|
||
let total = 0n;
|
||
for (let numDigits = minDigits; numDigits <= maxDigits; numDigits++) {
|
||
// Check all multiplier - digit pairs to see if a candidate can be built
|
||
// with the correct number of digits
|
||
for (let multiplier = 1n; multiplier < 10n; multiplier++) {
|
||
for (let lastDigit = 1n; lastDigit < 10n; lastDigit++) {
|
||
const numerator = lastDigit * (powersOfTen[numDigits - 1] - multiplier);
|
||
const denominator = (powersOfTen[1] * multiplier - 1n);
|
||
if (numerator % denominator === 0n) {
|
||
const candidate = (numerator / denominator) * 10n + lastDigit;
|
||
if (candidate.toString().length === numDigits) {
|
||
total = (total + candidate) % DIGITS_TO_KEEP;
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
return parseInt(total);
|
||
}
|
||
```
|