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| id | title | challengeType | forumTopicId | dashedName |
|---|---|---|---|---|
| 5900f52e1000cf542c510041 | Problema 450: Pontos da rede e hipocicloide | 5 | 302123 | problem-450-hypocycloid-and-lattice-points |
--description--
Um hipocicloide é a curva desenhada por um ponto em um pequeno círculo girando dentro de um círculo maior. As equações paramétricas de um hipocicloide centrado na origem e começando no ponto mais à direita são dadas por:
x(t) = (R - r) \cos(t) + r \cos(\frac{R - r}{r}t)y(t) = (R - r) \sin(t) - r \sin(\frac{R - r}{r} t)Onde R é o raio do círculo grande e r o raio do círculo pequeno.
Considere C(R, r) como o conjunto de pontos distintos com coordenadas em números inteiros do hipocicloide com raio R e r e para o qual há um valor correspondente de t, tal que \sin(t) e \cos(t) são números racionais.
Considere S(R, r) = \sum\_{(x,y) \in C(R, r)} |x| + |y| como a soma dos valores absolutos das coordenadas x e y dos pontos em C(R, r).
Considere T(N) = \sum_{R = 3}^N \sum_{r=1}^{\left\lfloor \frac{R - 1}{2} \right\rfloor} S(R, r) como a soma de S(R, r) para R e r sendo números inteiros positivos, R\leq N e 2r < R.
Você é informado de que:
\begin{align} C(3, 1) = & \\{(3, 0), (-1, 2), (-1,0), (-1,-2)\\} \\\\
C(2500, 1000) = & \\{(2500, 0), (772, 2376), (772, -2376), (516, 1792), (516, -1792), (500, 0), (68, 504), \\\\ &(68, -504),(-1356, 1088), (-1356, -1088), (-1500, 1000), (-1500, -1000)\\} \end{align}$$
**Observação:** (-625, 0) não é um elemento de $C(2500, 1000)$, pois $\sin(t)$ não é um número racional para os valores correspondentes de $t$.
$S(3, 1) = (|3| + |0|) + (|-1| + |2|) + (|-1| + |0|) + (|-1| + |-2|) = 10$
$T(3) = 10$; $T(10) = 524$; $T(100) = 580.442$; $T({10}^3) = 583.108.600$.
Encontre $T({10}^6)$.
# --hints--
`hypocycloidAndLatticePoints()` deve retornar `583333163984220900`.
```js
assert.strictEqual(hypocycloidAndLatticePoints(), 583333163984220900);
```
# --seed--
## --seed-contents--
```js
function hypocycloidAndLatticePoints() {
return true;
}
hypocycloidAndLatticePoints();
```
# --solutions--
```js
// solution required
```