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Raw Blame History

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5900f3ad1000cf542c50fec0	Problema 65: Convergentes de e	5	302177	problem-65-convergents-of-e

--description--

A raiz quadrada de 2 pode ser escrita como uma fração contínua e infinita.

\\sqrt{2} = 1 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2 + ...}}}}

Uma fração contínua e infinita pode ser representada por \\sqrt{2} = \[1; (2)]. Essa representação indica que 2 se repete ad infinitum. Da mesma forma, \\sqrt{23} = \[4; (1, 3, 1, 8)]. Acontece que a sequência de valores parciais de frações contínuas de raízes quadradas fornece as melhores aproximações racionais. Considere as convergências de \\sqrt{2}.

1 + \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{3}{2}\\\\ 1 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2}} = \\dfrac{7}{5}\\\\ 1 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2}}} = \\dfrac{17}{12}\\\\ 1 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2 + \\dfrac{1}{2}}}} = \\dfrac{41}{29}

Assim, a sequência dos primeiros dez convergentes onde \\sqrt{2} são:

1, \\dfrac{3}{2}, \\dfrac{7}{5}, \\dfrac{17}{12}, \\dfrac{41}{29}, \\dfrac{99}{70}, \\dfrac{239}{169}, \\dfrac{577}{408}, \\dfrac{1393}{985}, \\dfrac{3363}{2378}, ...

O que é mais surpreendente é a constante matemática, e = \[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, ... , 1, 2k, 1, ...]. Os primeiros dez termos na sequência de convergentes para e são:

2, 3, \\dfrac{8}{3}, \\dfrac{11}{4}, \\dfrac{19}{7}, \\dfrac{87}{32}, \\dfrac{106}{39}, \\dfrac{193}{71}, \\dfrac{1264}{465}, \\dfrac{1457}{536}, ...

A soma de algarismos no numerador do 10^o convergente é 1 + 4 + 5 + 7 = 17.

Calcule a soma dos algarismos no numerador do n^o convergente da fração contínua para e.

--hints--

convergentsOfE(10) deve retornar um número.

assert(typeof convergentsOfE(10) === 'number');

convergentsOfE(10) deve retornar 17.

assert.strictEqual(convergentsOfE(10), 17);

convergentsOfE(30) deve retornar 53.

assert.strictEqual(convergentsOfE(30), 53);

convergentsOfE(50) deve retornar 91.

assert.strictEqual(convergentsOfE(50), 91);

convergentsOfE(70) deve retornar 169.

assert.strictEqual(convergentsOfE(70), 169);

convergentsOfE(100) deve retornar 272.

assert.strictEqual(convergentsOfE(100), 272);

--seed--

--seed-contents--

function convergentsOfE(n) {

  return true;
}

convergentsOfE(10);

--solutions--

function convergentsOfE(n) {
  function sumDigits(num) {
    let sum = 0n;
    while (num > 0) {
      sum += num % 10n;
      num = num / 10n;
    }
    return parseInt(sum);
  }

  // BigInt is needed for high convergents
  let convergents = [
    [2n, 1n],
    [3n, 1n]
  ];
  const multipliers = [1n, 1n, 2n];
  for (let i = 2; i < n; i++) {
    const [secondLastConvergent, lastConvergent] = convergents;
    const [secondLastNumerator, secondLastDenominator] = secondLastConvergent;
    const [lastNumerator, lastDenominator] = lastConvergent;
    const curMultiplier = multipliers[i % 3];

    const numerator = secondLastNumerator + curMultiplier * lastNumerator;
    const denominator = secondLastDenominator + curMultiplier * lastDenominator;

    convergents = [lastConvergent, [numerator, denominator]]
    if (i % 3 === 2) {
      multipliers[2] += 2n;
    }
  }
  return sumDigits(convergents[1][0]);
}

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