2.6 KiB
| title | localeTitle |
|---|---|
| Chain Rule Introduction | Introducción a la regla de la cadena |
Introducción a la regla de la cadena
La regla de la cadena se utiliza para calcular la derivada de una composición de funciones.
Sea F una función de valor real compuesta de dos funciones f y g, es decir, F(x) = f(g(x)) y tanto f (x) como g (x) son diferenciables. Sea que la derivada D {F (x)} se denota como F '(x).
Por regla de la cadena,
F'(x) = f'(g(x)).g'(x)
Supongamos que g (x) = t, entonces F (x) = f (g (x)) puede reescribirse como F (x) = f (t) luego, en la notación de Leibniz, la Regla de la Cadena puede reescribirse como:
d(F)/dx = df/dt . dt/dx
Ejemplo 1. Para calcular la derivada del pecado (ax + b)
Solución: La función se puede visualizar como un compuesto de dos funciones. F (x) = f (g (x))
t = g (x) = ax + b y f (t) = sin (t)
f (t) = sin (t) => df / dt = cos (t)
t = g (x) = ax + b => dt / dx = a
Ahora por regla de la cadena:
d (F) / dx = df / dt. dt / dx
=> d (F) / dx = a. costo (t) = a.cos (ax + b)
O
Podemos aplicar directamente la fórmula F '(x) = f' (g (x)). G '(x) = cos (ax + b). un
Para una función compuesta de más de dos funciones:
Sea F una función de valor real compuesta de cuatro funciones rstu, es decir, F(x)=r(s(t(u(x)))) y todas las funciones r (x) s (x) t (x) u (x) son diferenciables. Sea que la derivada D {F (x)} se denota como F '(x).
Por regla de la cadena,
F'(x) = r'(s(t(u(x)))).s'(t(u(x))).t'(u(x)).u'(x)
Supongamos que a = u (x), b = t (a), c = s (b) y luego F (x) = r (s (t (u (x)))) se puede reescribir como F (x) ) = r (c)
entonces, F (x) = r (c) => d (F) / dx = dr / dc. dc / dx ___ (eqn 1)
c = s (b) => dc / dx = ds / db. db / dx ___ (eqn 2)
b = t (a) => db / dx = dt / da. da / dx ___ (eqn 3)
a = u (x) => da / dx = du / dx ___ (eqn 4)
Poniendo el valor de eqn 2 3 4 en eqn 1, obtendremos:
d(F)/dx = dr/dc . ds/db . dt/da . du/dx
Ejemplo 2. Para calcular la derivada de sin (cos ((mx + n) ^ 3))
Solución: La función se puede visualizar como un compuesto de cuatro funciones. F (x) = r (s (t (u (x))))
donde a = u (x) = mx + n
b = t (a) = a ^ 3
c = s (b) = cos (b), luego F (x) = r (s (t (u (x))) puede reescribirse como F (x) = r (c) = sin (c)
Ahora, por regla de la cadena: d (F) / dx = dr / dc. ds / db. dt / da. du / dx
=> d (F) / dx = cos (c). -sin (b). 3a ^ 2. metro
=> d (F) / dx = cos (cos ((mx + n) ^ 3)). -sin ((mx + n) ^ 3)). 3 (mx + n) ^ 2. metro
O
Podemos aplicar directamente la fórmula,
F '(x) = r' (s (t (u (x))). S '(t (u (x))) t' (u (x)). U '(x) = cos ( cos ((mx + n) ^ 3)). -sin ((mx + n) ^ 3)). 3 (mx + n) ^ 2. metro