4.5 KiB
| title | localeTitle |
|---|---|
| Binomial Distribution | Биномиальное распределение |
Биномиальное распределение
Биномиальное распределение описывает вероятность наличия ровно k успехов в n независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p .
Есть четыре условия, которые должны быть выполнены, прежде чем мы сможем использовать распределение биномалей.
- Испытания независимы.
- Число испытаний,
n, фиксировано. - Каждый результат испытания можно отнести к успеху или неудаче.
- Вероятность успеха,
p, одинакова для каждого испытания.
пример
Рассмотрим эксперимент по бросанию справедливой монеты в 10 раз. Пусть результат «Головок» - это успех и результат «Хвост».
- Бросание монеты - это одно испытание эксперимента, и каждый раз, когда мы бросаем монету, полученный результат не зависит от результата любого другого испытания.
- Мы бросаем монету 10 раз (фиксированное значение
n). - Мы решили считать «Главы» успешными, а «Хвосты» - неудачей.
- Вероятность получения голов с честной монетой равна 0,5, и это одинаково в каждом испытании.
Все четыре условия выполнены, поэтому мы можем моделировать этот эксперимент, используя биномиальное распределение.
Найдем вероятность получить Heads точно один раз, т.е. 1 успех.
Есть 10 бросков, и любой мог бы привести к исходу Heads, и каждый из этих 10 сценариев имеет ту же вероятность. Таким образом, конечная вероятность может быть записана как: [# Number of Scenarios] x P(single scenario)
Первой составляющей приведенного выше уравнения является число способов расположения k = 1 успехов среди n = 10 испытаний. Второй компонент - вероятность любого из четырех (одинаково вероятных) сценариев.
Рассмотрим P(Single Scenario) в общем случае k успехов и n - k отказов в n испытаниях. Чтобы найти значение, используйте правило умножения для независимых событий:
Количество способов получить k успехов из n проб может быть записано как n выбрать k :
Таким образом, общая формула для получения вероятности наблюдения точно k успехов в n независимых испытаниях дает:
Следовательно, вероятность получения ровно одной главы в испытаниях:
Среднее и разное
Среднее биномиальное распределение с n исследованиями, где p - вероятность успеха, определяется:
и дисперсия:
