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| Definition of Real Number | Definición de número real |
Definición de número real
Los números reales pueden considerarse como puntos en una línea infinitamente larga.
Los números reales incluyen todos los números racionales, como 1/2 , 0 , 103.644 y 271/272 , así como todos los números irracionales, como pi , la raíz cuadrada de 2 y e . Tenga en cuenta que los "Números complejos", números que incluyen una magnitud imaginaria distinta de cero, no están incluidos.
Entonces, cualquier número con representación decimal, incluso si esa representación es infinita, es real, por ejemplo , 1.234567891 ... Notamos que la raíz cuadrada de un número negativo no tiene representación decimal, por lo que la raíz cuadrada de cualquier número negativo no es real. Da la casualidad de que la raíz cuadrada de -1 es la definición de " i ", la longitud de la unidad en el sistema de números imaginarios. A continuación se presenta una descripción general de cómo se podrían derivar y definir los números reales, pero ciertamente no es una prueba formal.
Considere la noción de 1 , una sola entidad, una unidad. Deje que el conjunto de números naturales, N sea descrito por las reglas:
- 1 es un número natural
- Cada número natural tiene exactamente un sucesor (un número mayor que él mismo).
- 1 no tiene sucesor.
Estos definen la noción de conteo, y con algunas reglas más que van más allá del alcance de este artículo, las reglas como la suma y el cierre se pueden definir dentro de este nuevo conjunto de números, N. Este conjunto, junto con la noción de 0 , crea el conjunto de números enteros. Cuando se agrega la noción de un "número negativo" a este conjunto de "números enteros", se forman los enteros. Un número negativo es un número b tal que a + b = 0 , donde a está en N (entonces a es ni 0 ni negativo en sí mismo). Llamamos a esta unión de 0 , N , y los números negativos Z , o los enteros .
Definimos la multiplicación bajo la operación " * " para ser tal que si a y b están en Z , entonces a * b = c si c = a +… + a , b veces. Así que la multiplicación en los enteros es realmente solo una suma. Tenga en cuenta, según esta definición, la adición se puede hacer un número negativo de veces. Ahora usamos la multiplicación para definir la división, lo que nos permitirá definir los números racionales.
Definimos la división bajo la operación " / " para que sea tal que si a y b están en Z , entonces c = a / b si y solo si existe a = b * c + r , donde r = 0 , y c es en z Pero, ¿y si a = b * c + r , donde 0 <r <b ? Entonces b no divide uniformemente a , y esta ecuación no tiene solución dentro de nuestro sistema numérico Z. Pero, ¿qué pasaría si esta ecuación fuera solucionable, y c pudiera expresarse como una relación , de manera que c = a / b a pesar de que b no divida de manera uniforme a ? Esto sugiere un conjunto de números conocidos como los números racionales , Q , cuyos miembros pueden expresarse como a / b , donde a y b están en Z. Notamos que todas las representaciones decimales de números en Q son finitas o repetitivas.
Sin embargo, algunos números no se pueden describir como una proporción de enteros, como la raíz cuadrada de 2, pi y e . Todos los números decimales de longitud no finita no repetitiva son irracionales. Esta propiedad es válida para todas las bases racionales de los números, de hecho. Al "llenar los huecos" entre los números racionales con estos números irracionales, se pueden construir los números reales R.
Tenga en cuenta que las computadoras no funcionan realmente en números reales, en lugar de eso, las computadoras funcionan con enteros binarios que se pueden usar para representar números de "punto flotante" o enteros.