freeCodeCamp

5.3 KiB

Raw Blame History

title	id	challengeType	videoUrl	localeTitle
Euler method	59880443fb36441083c6c20e	5		Метод Эйлера

Description

Метод Эйлера численно аппроксимирует решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (ОДУ) с заданным начальным значением. Это явный метод решения начальных задач (IVP), как описано на странице wikipedia .

ОДУ должно быть представлено в следующем виде:

:: $ \ frac {dy (t)} {dt} = f (t, y (t)) $

с начальным значением

:: $ y (t_0) = y_0 $

Чтобы получить числовое решение, мы заменим производную на LHS с помощью разностной аппроксимации:

:: $ \ frac {dy (t)} {dt} \ approx \ frac {y (t + h) -y (t)} {h} $

затем решить для $ y (t + h) $:

:: $ y (t + h) \ approx y (t) + h \, \ frac {dy (t)} {dt} $

который является таким же, как

:: $ y (t + h) \ approx y (t) + h \, f (t, y (t)) $

Итеративное правило решения:

:: $ y_ {n + 1} = y_n + h \, f (t_n, y_n) $

где $ h $ - размер шага, наиболее важный параметр для точности решения. Чем меньше размер шага, тем выше точность, но также и стоимость вычислений, поэтому его всегда нужно выбирать вручную в зависимости от проблемы.

Пример: закон охлаждения Ньютона

Закон охлаждения Ньютона описывает, как объект начальной температуры $ T (t_0) = T_0 $ остывает в среде с температурой $ T_R $ :

:: $ \ frac {dT (t)} {dt} = -k \, \ Delta T $

или

:: $ \ frac {dT (t)} {dt} = -k \, (T (t) - T_R) $

В нем говорится, что скорость охлаждения $ \ frac {dT (t)} {dt} $ объекта пропорциональна текущей разности температур $ \ Delta T = (T (t) - T_R) $ в окружающую среду.

Аналитическое решение, которое мы будем сравнивать с численным приближением,

:: $ T (t) = T_R + (T_0 - T_R) \; е ^ {-} $ кт

Задача:

Внедрить рутину метода Эйлера, а затем использовать его для решения данного примера закона охлаждения Ньютона с ним для трех разных размеров шага:

:: * 2 с

:: * 5 с и

:: * 10 с

и сравнить с аналитическим решением.

Начальные значения:

:: * начальная температура $ T_0 $ должна быть 100 ° C

:: * комнатная температура $ T_R $ должна составлять 20 ° C

:: * постоянная охлаждения $ k $ должна составлять 0,07

:: * интервал времени для вычисления должен составлять от 0 с ──► 100 с

Instructions

Tests

tests:
  - text: <code>eulersMethod</code> - это функция.
    testString: 'assert(typeof eulersMethod === "function", "<code>eulersMethod</code> is a function.");'
  - text: '<code>eulersMethod(0, 100, 100, 10)</code> должен возвращать число.'
    testString: 'assert(typeof eulersMethod(0, 100, 100, 10) === "number", "<code>eulersMethod(0, 100, 100, 10)</code> should return a number.");'
  - text: '<code>eulersMethod(0, 100, 100, 10)</code> должен возвращать 20.0424631833732.'
    testString: 'assert.equal(eulersMethod(0, 100, 100, 2), 20.0424631833732, "<code>eulersMethod(0, 100, 100, 10)</code> should return 20.0424631833732.");'
  - text: '<code>eulersMethod(0, 100, 100, 10)</code> должен возвращать 20.01449963666907.'
    testString: 'assert.equal(eulersMethod(0, 100, 100, 5), 20.01449963666907, "<code>eulersMethod(0, 100, 100, 10)</code> should return 20.01449963666907.");'
  - text: '<code>eulersMethod(0, 100, 100, 10)</code> должен возвращать 20.000472392.'
    testString: 'assert.equal(eulersMethod(0, 100, 100, 10), 20.000472392, "<code>eulersMethod(0, 100, 100, 10)</code> should return 20.000472392.");'

Challenge Seed

function eulersMethod (x1, y1, x2, h) {
  // Good luck!
}

Solution

// solution required

5.3 KiB Raw Blame History Unescape Escape