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| Definition of Real Number | Definição do Número Real |
Definição do Número Real
Números reais podem ser considerados como pontos em uma linha infinitamente longa.
Os números reais incluem todos os números racionais, como 1/2 , 0 , 103.644 e 271/272 , bem como todos os números irracionais, como pi , a raiz quadrada de 2 e e . Note que os "Números Complexos", números que incluem magnitude imaginária diferente de zero, não estão incluídos.
Portanto, qualquer número com representação decimal, mesmo que essa representação seja infinita, é real, por exemplo , 1.234567891… Observamos que a raiz quadrada de um número negativo não possui uma representação decimal, portanto, a raiz quadrada de qualquer número negativo não é real. Acontece que a raiz quadrada de -1 é a definição de " i ", o comprimento da unidade no sistema de números imaginários. Abaixo está um esboço de como se pode derivar e definir os números reais, mas certamente não é uma prova formal.
Considere a noção de 1 , uma entidade única, uma unidade. Deixe o conjunto de números naturais, N ser descrito pelas regras:
- 1 é um número natural
- Todo número natural tem exatamente um sucessor (um número maior que ele mesmo).
- 1 não tem sucessor.
Estes definem a noção de contagem, e com mais algumas regras além do escopo deste artigo, regras como adição e fechamento podem ser definidas dentro deste novo conjunto de números, N. Esse conjunto, junto com a noção de 0 , cria o conjunto de números inteiros. Quando a noção de um "número negativo" é adicionada a este conjunto de "números inteiros", os inteiros são formados. Um número negativo é um número b tal que a + b = 0 , onde a está em N (então a não é nem 0 nem negativo em si). Chamamos essa união de 0 , N e os números negativos Z ou os inteiros .
Definimos que a multiplicação sob a operação " * " é tal que se a e b estão em Z , então a * b = c se c = a + ... + a , b vezes. Então multiplicação nos inteiros é realmente apenas uma soma. Note, por esta definição, a adição pode ser feita um número negativo de vezes. Agora usamos multiplicação para definir divisão, o que nos permitirá definir os números racionais.
Nós definimos divisão no âmbito da operação "/", para ser tal que, se a e b são em Z, em seguida, c = a / b se e somente se existir a = b * c + r, onde r = 0, e c é em Z Mas e se a = b * c + r , onde 0 <r <b ? Então b não divide uniformemente um , e esta equação é insolúvel dentro do nosso sistema numérico Z. Mas e se essa equação foram resolvidas, e c pode ser expresso como uma razão, tal que c = a / b apesar b não dividir uniformemente um? Isto aponta para um conjunto de números conhecidos como os números racionais, Q, cujos membros podem ser expressa como a / b, onde a e b são em Z. Notamos que todas as representações decimais de números em Q são finitas ou repetidas.
Alguns números não podem ser descritos como uma proporção de inteiros, no entanto, como a raiz quadrada de 2, pi e e . Todos os números decimais não repetidos e não finitos são irracionais. Esta propriedade é válida para todas as bases racionais de números, na verdade. Ao "preencher as lacunas" entre os números racionais com esses números irracionais, os números reais R podem ser construídos.
Por favor, note que os computadores não funcionam em números reais, ao invés disso, os computadores trabalham em inteiros binários que podem ser usados para representar números de "ponto flutuante" ou números inteiros.