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59880443fb36441083c6c20e	Metodo di Eulero	5	302258	euler-method

--description--

Il metodo di Eulero approssima numericamente le soluzioni di equazioni differenziali ordinarie di primo ordine (ordinary differential equations in inglese - ODEs) con un dato valore iniziale. Si tratta di un metodo esplicito per risolvere i problemi di valore iniziale (IVP), come descritto in questo articolo.

L'ODE deve essere fornita nella seguente forma:

$\frac{dy(t)}{dt} = f(t,y(t))$

con un valore iniziale

$y(t_0) = y_0$

Per ottenere una soluzione numerica, sostituiamo il derivato sul LHS con un'approssimazione alle differenze finite:

$\frac{dy(t)}{dt} \approx \frac{y(t+h)-y(t)}{h}$

poi risolvere per y(t+h):

$y(t+h) \approx y(t) + h \, \frac{dy(t)}{dt}$

che è come

$y(t+h) \approx y(t) + h \, f(t,y(t))$

La regola della soluzione iterativa è:

$y_{n+1} = y_n + h \, f(t_n, y_n)$

dove h è la dimensione del passo, il parametro più rilevante per la precisione della soluzione. Un passo più piccolo aumenta l'accuratezza ma anche il costo di calcolo, quindi deve essere sempre scelto manualmente in base al problema da affrontare.

Esempio: Legge di raffreddamento di Newton

La legge di raffreddamento di Newton descrive come un oggetto di temperatura iniziale T(t_0) = T_0 si raffredda in un ambiente di temperatura T_R:

$\frac{dT(t)}{dt} = -k \, \Delta T$

oppure

$\frac{dT(t)}{dt} = -k \, (T(t) - T_R)$

Dice che il tasso di raffreddamento \\frac{dT(t)}{dt} dell'oggetto è proporzionale alla differenza tra la temperatura corrente dell'oggetto \\Delta T = (T(t) - T_R) e quella dell'ambiente circostante.

La soluzione analitica, che confronteremo con l'approssimazione numerica, è

$T(t) = T_R + (T_0 - T_R) \; e^{-k t}$

--instructions--

Implementa una routine del metodo di Eulero e quindi usala per risolvere l'esempio dato della legge di raffreddamento di Newton per tre diverse dimensioni di passo di:

2 s
5 s e
10 s

e confrontala con la soluzione analitica.

Valori iniziali:

la temperatura iniziale $T_0$ deve essere 100 °C
temperatura ambiente $T_R$ deve essere 20 °C
costante di raffreddamento $k$ deve essere 0.07
l'intervallo di tempo per il calcolo deve essere compreso tra 0 s e 100 s

Il primo parametro per la funzione è il tempo iniziale, il secondo parametro è la temperatura iniziale, il terzo parametro è il tempo trascorso e il quarto parametro è la dimensione del passo.

--hints--

eulersMethod dovrebbe essere una funzione.

assert(typeof eulersMethod === 'function');

eulersMethod(0, 100, 100, 2) dovrebbe restituire un numero.

assert(typeof eulersMethod(0, 100, 100, 2) === 'number');

eulersMethod(0, 100, 100, 2) dovrebbe restituire 20.0424631833732.

assert.equal(eulersMethod(0, 100, 100, 2), 20.0424631833732);

eulersMethod(0, 100, 100, 5)dovrebbe restituire 20.01449963666907.

assert.equal(eulersMethod(0, 100, 100, 5), 20.01449963666907);

eulersMethod(0, 100, 100, 10) dovrebbe restituire 20.000472392.

assert.equal(eulersMethod(0, 100, 100, 10), 20.000472392);

--seed--

--seed-contents--

function eulersMethod(x1, y1, x2, h) {

}

--solutions--

function eulersMethod(x1, y1, x2, h) {
  let x = x1;
  let y = y1;

  while ((x < x2 && x1 < x2) || (x > x2 && x1 > x2)) {
    y += h * (-0.07 * (y - 20));
    x += h;
  }

  return y;
}

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