3.0 KiB
| title | localeTitle |
|---|---|
| Factorials | Факториалы |
Факториалы
Определение факториала
Факториал состоит в том, чтобы умножить его на каждый интигер ниже, чем заканчивается на один. Если начальное число отрицательно, результат будет бесконечным.
Факториал n , неотрицательное целое число, определяется как:
п! = 1 * 2 * ... * (n - 1) * n
При n = 0 возникает особый случай. А именно, 0! = 1 .
Удобство факториалов
Вышеприведенное определение предоставляет вам удобство при определенных вычислениях. Например, факториалы внутри фракций часто могут быть упрощены следующим образом:
Пример 1: 7! / 5! = (1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7) / (1 * 2 * 3 * 4 * 5) = 6 * 7 = 42
Пример 2: (n + 1)! / n! = (1 * 2 * ... * n * (n + 1)) / (1 * 2 * ... * n) = n + 1
Альтернативное определение
В качестве альтернативы факториалы можно определить следующим образом:
0! = 1
п! = n * (n - 1)! если n> 0
Это рекурсивное определение означает то же самое, что и традиционное определение. Применяя это ко второму примеру выше, получаем:
(n + 1)! / n! = (n + 1) * n! / n! = n + 1
Помимо этого: расширение до нецелочисленных
Обратите внимание, что факториал, определенный выше, применяется только к целым неотрицательным целям. На самом деле существует обобщение факториалов, которое также распространяется на нецелые числа, что является гамма-функцией. В частности, для любого натурального числа n вы имеете n! = Gamma (n + 1) = n * Gamma (n) .
Дополнительные сведения см. В разделе Расширение факториалов до нецелых значений аргумента .
Один сложный пример, который многие могут не знать, если 0! = 1. Для дальнейшего доказательства см. Ссылку в разделе «Дополнительная информация».