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## Derivados
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La derivada es la tasa instantánea de cambio de una función, o la tasa de cambio de una función en cualquier momento particular en el tiempo. La derivada es una herramienta de cálculo y puedes determinarla tomando un límite.
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Puede entender el concepto de derivado comparándolo con el concepto de pendiente (la tasa promedio de cambio) en el álgebra.
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Echemos un vistazo a un ejemplo:
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Decide conducir desde San Francisco a Santa Rosa, California, una distancia de aproximadamente 60 millas. Usted hace el viaje en una hora; por lo tanto, su tasa promedio de cambio (velocidad) es de 60 millas por hora.
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Sin embargo, no viajó a una velocidad de 60 millas por hora por cada instante de su viaje. Comenzó más despacio, luego aumentó su velocidad y la varió en el camino, y luego redujo la velocidad hasta detenerse por completo cuando llegó a su destino.
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Veamos la gráfica de su viaje, donde el eje x representa el tiempo (en minutos) y el eje y representa la distancia (en millas). Pt. A representa a San Francisco, con coordenadas (0, 0) y pt. B representa a Santa Rosa, con coordenadas (60, 60). La línea curva representa su ubicación, en el espacio y en el tiempo, mientras viajaba desde San Francisco a Santa Rosa.
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Puede determinar la velocidad promedio (tasa de cambio en la distancia por tiempo) de su viaje tomando la pendiente de álgebra ("ascender sobre la carrera"):
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Usando el mismo gráfico, puedes elegir dos puntos, C (x1, y1) y D (x2, y2) y encontrar la pendiente entre ellos. Además, puede etiquetar cada punto usando la notación de función, de modo que (x1, y1) se convierta en (x, f (x)) y (x2, y2) se convierta en ((x + h), f (x + h)), con siendo h la distancia horizontal que pt. D es de pt. DO:
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La pendiente de pt. C a pt. D es:
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La expresion  se denomina cociente de diferencias y puede usarlo para encontrar la tasa promedio de cambio desde cualquier punto en una gráfica a cualquier otro punto a una distancia horizontal de h unidades de distancia.
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Para convertir la tasa de cambio promedio (la pendiente) en una tasa de cambio instantánea (la derivada, anotada como f (x)), toma el límite del cociente de diferencias:
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Esta es la definición formal de la derivada y significa que está tomando la distancia h y reduciéndola a una cantidad infinitesimalmente pequeña. Todavía tienes una pendiente, pero sus puntos finales están infinitamente próximos entre sí. Tan cerca, de hecho, que aparecen como un punto, o como un instante, en el tiempo.
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Dado que una línea tangente a un punto en un gráfico cruza el gráfico en solo un punto, la derivada también se define como la pendiente de la línea tangente a cualquier punto en un gráfico. En el ejemplo del gráfico anterior, la derivada de cada punto es la velocidad instantánea a la que está viajando.
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Los derivados tienen una amplia gama de aplicaciones y se utilizan en física, ingeniería, economía y otras disciplinas. |