3.5 KiB
| title | localeTitle |
|---|---|
| Euler's Method | Метод Эйлера |
Метод Эйлера
Метод Эйлера представляет собой численную процедуру первого порядка для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с заданным начальным значением.
Общая проблема с начальным значением
методология
Метод Эйлера использует простую формулу,
построить касательную в точке x и получить значение y(x+h) , наклон которого равен,
В методе Эйлера вы можете аппроксимировать кривую решения касательной в каждом интервале (т. Е. Последовательностью коротких отрезков) на шагах h .
В общем случае, если вы используете небольшой размер шага, точность приближения возрастает.
Общая формула
Функциональное значение в любой точке b , заданное y(b)
где,
- n = количество шагов
- h = ширина интервала (размер каждого шага)
ПСЕВДОКОД
пример
Найти y(1) , учитывая
Решая аналитически решение, y = e x и y(1) = 2.71828 . (Примечание. Это аналитическое решение предназначено только для сравнения точности.)
Используя метод Эйлера, рассматривая h = 0.2 , 0.1 , 0.01 , вы можете увидеть результаты на диаграмме ниже.
Когда h = 0.2 , y(1) = 2.48832 (ошибка = 8,46%)
Когда h = 0.1 , y(1) = 2.59374 (ошибка = 4,58%)
Когда h = 0.01 , y(1) = 2.70481 (ошибка = 0,50%)
Вы можете заметить, насколько точность улучшается, когда шаги малы.