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5900f4051000cf542c50ff18	Problema 153: Indagare sugli interi Gaussiani	5	301784	problem-153-investigating-gaussian-integers

--description--

Come tutti sappiamo l'equazione x^2 = -1 non ha soluzioni per x reale.

Se però introduciamo il numero immaginario i questa equazione ha due soluzioni: x = i e x = -i.

Se andiamo oltre l'equazione {(x - 3)}^2 = -4 ha due soluzioni complesse: x = 3 + 2i e x = 3 - 2i, che sono chiamati l'uno il complesso coniugato dell'altro.

I numeri del tipo a + bi sono chiamati numeri complessi.

In generale a + bi e a − bi sono l'uno il complesso coniugato dell'altro. Un intero Gaussiano è un numero complesso a + bi tale che sia a che b siano interi.

Gli interi regolari sono anche interi gaussiani (con b = 0).

Per distinguerli dagli interi gaussiani con b ≠ 0 chiamiamo tali interi "interi razionali"

Un intero gaussiano è chiamato divisore di un intero razionale n se il risultato è anche un intero gaussiano.

Se, ad esempio, dividiamo 5 per 1 + 2i possiamo semplificare nel modo seguente:

Moltiplicare numeratore e denominatore per il complesso coniugato di 1 + 2i: 1 − 2i.

Il risultato è:

\frac{5}{1 + 2i} = \frac{5}{1 + 2i} \frac{1 - 2i}{1 - 2i} = \frac{5(1 - 2i)}{1 - {(2i)}^2} = \frac{5(1 - 2i)}{1 - (-4)} = \frac{5(1 - 2i)}{5} = 1 - 2i

Così 1 + 2i è un divisore di 5.

Si noti che 1 + i non è un divisore di 5 perché:

\frac{5}{1 + i} = \frac{5}{2} - \frac{5}{2}i

Nota anche che se l'intero gaussiano (a + bi) è un divisore di un intero razionale n, allora il suo complesso coniugato (a − bi) è anch'esso un divisore di n. Infatti, 5 ha sei divisori la cui parte reale è positiva: {1, 1 + 2i, 1 - 2i, 2 + i, 2 - i, 5}.

La seguente è una tabella di tutti i divisori per i primi cinque interi razionali positivi:

n	Divisori interi gaussiani con parte reale positiva	Somma s(n) di questi divisori
1	1	1
2	1, 1 + i, 1 - i, 2	5
3	1, 3	4
4	1, 1 + i, 1 - i, 2, 2 + 2i, 2 - 2i, 4	13
5	1, 1 + 2i, 1 - 2i, 2 + i, 2 - i, 5	12

Per i divisori con parti reali positive, poi, abbiamo: \displaystyle\sum_{n=1}^5 s(n) = 35.

Per 1 ≤ n ≤ {10}^5, \displaystyle\sum_{n = 1}^{{10}^5} s(n) = 17924657155.

Cos'è \displaystyle\sum_{n=1}^{{10}^8} s(n)?

--hints--

sumGaussianIntegers() dovrebbe restituire 17971254122360636.

assert.strictEqual(sumGaussianIntegers(), 17971254122360636);

--seed--

--seed-contents--

function sumGaussianIntegers() {

  return true;
}

sumGaussianIntegers();

--solutions--

// solution required

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