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title: Simpson's Rule
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localeTitle: Regra de Simpson
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# Regra de Simpson
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Na análise numérica, a regra de Simpson é um método para integração _numérica (aproximação numérica de integrais definidas)_ .
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A regra de Simpson aproxima a integração da forma,
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Onde,
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* `f(x)` é chamado o _integrando_
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* `a` = limite inferior de integração
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* `b` = limite superior de integração
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## Regra 1/3 de Simpson
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Como mostrado no diagrama acima, o integrando `f(x)` é aproximado por um polinômio de segunda ordem; o interpolante quadrático sendo `P(x)` .
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A aproximação segue,
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Substituindo `(ba)/2` como `h` , obtemos,
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Como você pode ver, há um fator de `1/3` na expressão acima. É por isso que se chama **Regra 1/3 de Simpson** .
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Se uma função é altamente oscilatória ou não possui derivativos em certos pontos, a regra acima pode falhar em produzir resultados precisos. Uma maneira comum de lidar com esse problema é dividindo o intervalo `[a,b]` em vários subintervalos pequenos. A regra de Simpson é então aplicada a cada subintervalo, com os resultados sendo somados para produzir uma aproximação para a integral ao longo de todo o intervalo. Esse tipo de abordagem é chamado _de regra_ do _composto Simpson_ .
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Suponha que o intervalo `[a,b]` seja dividido em `n` subintervalos, com `n` sendo um número par. Então, a regra do composto Simpson é dada por,
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onde **x j = a + jh** para **j = 0,1,…, n-1, n** com **h = (ba) / n** ; em particular, **x 0 = a** e **x n = b** .
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#### Exemplo:
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**Aproxima o valor da integral dada abaixo, tomando n = 8.**
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A implementação da Regra 1/3 de Simpson em C ++ é a seguinte:
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```cpp
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#include<iostream>
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#include<cmath>
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using namespace std;
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float f(float x)
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{
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return x*sin(x); //Define the function f(x)
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}
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float simpson(float a, float b, int n)
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{
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float h, x[n+1], sum = 0;
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int j;
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h = (ba)/n;
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x[0] = a;
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for(j=1; j<=n; j++)
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{
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x[j] = a + h*j;
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}
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for(j=1; j<=n/2; j++)
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{
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sum += f(x[2*j - 2]) + 4*f(x[2*j - 1]) + f(x[2*j]);
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}
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return sum*h/3;
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}
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int main()
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float a,b,n;
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a = 1; //Enter lower limit a
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b = 4; //Enter upper limit b
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n = 8; //Enter step-length n
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if (n%2 == 0)
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cout<<simpson(a,b,n)<<endl;
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else
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cout<<"n should be an even number";
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return 0;
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}
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```
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## Regra 3/8 de Simpson
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A regra 3/8 de Simpson é semelhante à regra de 1/3 de Simpson. A única diferença é que, aqui, o interpolante é um polinômio cúbico. A regra 3/8 é duas vezes mais precisa que a regra 1/3, mas usa mais um valor de função.
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A regra 3/8 de Simpson afirma:
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Substituindo `(ba)/3` como `h` , obtemos,
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A regra 3/8 de Simpson para n intervalos (n deve ser um múltiplo de 3):
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onde **x j = a + jh** para **j = 0,1,…, n-1, n** com **h = (ba) / n** ; em particular, **x 0 = a** e **x n = b** .
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### Mais Informações:
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1. [Regra de Simpson](https://en.wikipedia.org/wiki/Simpson%27s_rule)
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2. [Regra 1/3 de Simpson](w3.gazi.edu.tr/~balbasi/mws_gen_int_txt_simpson13.pdf) |