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|---|---|---|---|---|
| 598eea87e5cf4b116c3ff81a | I fattori di un numero di Mersenne | 5 | 302264 | factors-of-a-mersenne-number |
--description--
Un numero di Mersenne è un numero nella forma di 2P-1.
Se P è primo, il numero di Mersenne può essere un primo di Mersenne. (Se P non è primo, anche il numero di Mersenne non è primo.)
Nella ricerca di numeri primari di Mersenne è vantaggioso eliminare gli esponenti trovando un piccolo fattore prima di iniziare un potenzialmente lungo [test di Lucas-Lehmer](https://rosettacode.org/wiki/Lucas-Lehmer test "Lucas-Lehmer test").
Ci sono algoritmi molto efficienti per determinare se un numero divide 2P-1 (o equivalentemente, se 2P mod (il numero) = 1).
Alcuni linguaggi hanno già implementazioni integrate di questa operazione esponente-e-modulo (chiamata modPow o simile).
Ecco come puoi implementare questo modPow:
Ad esempio, calcoliamo 223 mod 47.
Converti l'esponente 23 in binario, ottenendo 10111. A partire da square = 1, fai ripetutamente il quadrato.
Rimuovi il bit superiore dell'esponente, e se è 1 moltiplica square per la base dell'esponenziazione (2), poi calcola square modulo 47.
Usa il risultato del modulo dall'ultimo passo come valore iniziale dello square nella fase successiva:
Remove Optional square top bit multiply by 2 mod 47 ------------ ------- ------------- ------ 1*1 = 1 1 0111 1*2 = 2 2 2*2 = 4 0 111 no 4 4*4 = 16 1 11 16*2 = 32 32 32*32 = 1024 1 1 1024*2 = 2048 27 27*27 = 729 1 729*2 = 1458 1
Dal momento che 223 mod 47 = 1, 47 è un fattore di 2P-1.
(Per vedere questo, sottrai 1 da entrambi i lati: 223-1 = 0 mod 47.)
Dal momento che abbiamo dimostrato che 47 è un fattore, 223-1 non è primo.
Ulteriori proprietà dei numeri di Mersenne ci permettono di affinare il processo ancora di più.
Qualsiasi fattore q di 2P-1 deve essere modulo 2kP+1, essendo k un numero intero positivo o uguale a zero. Inoltre, q deve essere 1 o 7 mod 8.
Infine qualsiasi fattore potenziale q deve essere [primo](https://rosettacode.org/wiki/Primality by Trial Division "Primality by Trial Division").
Come in altri algoritmi di divisione di prova, l'algoritmo si ferma quando 2kP+1 > sqrt(N). Questi test funzionano principalmente solo su numeri Mersenne dove P è primo. Ad esempio, M4=15 non produce fattori che utilizzano queste tecniche, ma fattori in 3 e 5, nessuno dei quali nella forma 2kP+1.
--instructions--
Utilizzando il metodo sopra descritto trovare un fattore di 2p-1.
--hints--
check_mersenne dovrebbe essere una funzione.
assert(typeof check_mersenne === 'function');
check_mersenne(3) dovrebbe restituire una stringa.
assert(typeof check_mersenne(3) == 'string');
check_mersenne(3) dovrebbe restituire la stringa M3 = 2^3-1 is prime.
assert.equal(check_mersenne(3), 'M3 = 2^3-1 is prime');
check_mersenne(23) dovrebbe restituire la stringa M23 = 2^23-1 is composite with factor 47.
assert.equal(check_mersenne(23), 'M23 = 2^23-1 is composite with factor 47');
check_mersenne(929) dovrebbe restituire la stringa M929 = 2^929-1 is composite with factor 13007.
assert.equal(
check_mersenne(929),
'M929 = 2^929-1 is composite with factor 13007'
);
--seed--
--seed-contents--
function check_mersenne(p) {
}
--solutions--
function check_mersenne(p){
function isPrime(value){
for (let i=2; i < value; i++){
if (value % i == 0){
return false;
}
if (value % i != 0){
return true;
}
}
}
function trial_factor(base, exp, mod){
let square, bits;
square = 1;
bits = exp.toString(2).split('');
for (let i=0,ln=bits.length; i<ln; i++){
square = Math.pow(square, 2) * (bits[i] == 1 ? base : 1) % mod;
}
return (square == 1);
}
function mersenne_factor(p){
let limit, k, q;
limit = Math.sqrt(Math.pow(2,p) - 1);
k = 1;
while ((2*k*p - 1) < limit){
q = 2*k*p + 1;
if (isPrime(q) && (q % 8 == 1 || q % 8 == 7) && trial_factor(2,p,q)){
return q; // q is a factor of 2**p-1
}
k++;
}
return null;
}
let f, result;
result="M"+p+" = 2^"+p+"-1 is ";
f = mersenne_factor(p);
result+=f == null ? "prime" : "composite with factor "+f;
return result;
}